Практические задания к экзамену

1. Получить выражение теоретической дисперсии через квадрат математического ожидания.

2. Имеются две оценки неизвестного параметра генеральной совокупности. Обязательно ли является более эффективной та из них, которая имеет наименьшую дисперсию?

3. Изобразить функцию потерь для прибытия в аэропорт позже (или раньше) времени окончательной регистрации.

4. Является ли несмещенность необходимым или достаточным условием состоятельности?

5. Для случайной величины , определяемой по формуле , найти среднее, дисперсию и длину вектора. Здесь - нормально распределенная случайная величина, - математическое ожидание случайной величины , - стандартное отклонение.

6. Покажите, что коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между и .

7. В чем различие, смысловое и количественное, теоретических значений коэффициентов регрессии и и их оценок и ?

8. Имеют ли коэффициенты и размерность?

9. Пусть наблюдения двух случайных переменных и находятся на прямой линии . Показать, что

а) ,

б)

10. Пусть переменная определяется зависимостью , и для третьей переменной получена выборка наблюдений. Показать, что при выборочный коэффициент корреляции между переменными и равен выборочному коэффициенту корреляции между и .

11. Докажите, что , используя равенства , и ковариационные правила.

12. Оцените уравнение регрессии по следующим данным:

13. Оцените уравнение регрессии по следующим данным:

14. Несколько сезонов садовник выращивал два сходных сорта крыжовника. Сбор урожая фактически был одинаков для обоих сортов с дисперсией для сорта A и дисперсией для сорта B. Затем он решил использовать новый участок, но не знает, будут ли почвенные условия воздействовать одинаково на оба сорта. Для эксперимента садовник посадил 30 кустов каждого сорта на новом участке. Сорт A дал урожай в среднем с куста, сорт B - в среднем с куста. Есть ли основание предполагать, что на новом участке сорт B имеет урожай в среднем больший, чем сорт A?

15. Компания производит промышленные крепежные детали. Одним из видов выпускаемой продукции является противомагнитный болт. Болты производятся со средней длиной 5см с известным стандартным отклонением 0,05см. Из последнего выпуска продукции взята выборка объемом 25 единиц. Средняя длина болта в выборке оказалась равной 5,025см. Какие выводы могут быть сделаны о средней длине болтов в этом производственном выпуске?

16. Компания выпускает прохладительные напитки. Наполняющая машина установлена так, что наполняемость бутылки равна 500мл. Каждый час отбираются наугад 30 бутылок и проверяются для того, чтобы определить, соответствует ли содержимое необходимому объему. Средний объем в последней выборке равняется 495,6мл, стандартное отклонение составляет 8,3мл. Имеется ли основание предполагать, что требуется переналадка машины?

17. Компания упаковывает продукт своего производства - специально просушенное кофе - в пакетики весом 500г. Руководство компании заявляет, что в среднем пакетики содержат по крайней мере 500г. С целью проверки этого утверждения выбрано наугад 10 пакетиков и взвешено их содержимое. Установлено следующее содержание пакетиков:

 

№ пакетика
Вес, г

 

Какое заключение можно сделать на основе этой выборки на 1% уровне значимости?

18. Супермаркет имеет в продаже кукурузные хлопья, которые продаются в коробках с маркой изготовителя, а также в простых коробках с маркой супермаркета. Производитель хлопьев наполняет оба типа коробок. Однако есть подозрение, что поставщик в среднем наполняет коробки с маркой супермаркета меньшим количеством хлопьев. Из выпуска двух типов упаковок были взяты случайные выборки и получены следующие данные: упаковки с маркой производителя - 25 упаковок, , ; упаковки с маркой супермаркета - 30 упаковок, , . Есть ли основание для оправдания такого подозрения?

19. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций плотности вероятности нормального распределения, имеющих одинаковое математическое ожидание и дисперсии и соответственно.

20. Пусть - нормально распределенная случайная величина, - стандартное отклонение, - выборочное стандартное отклонение. Показать, что величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

21. Показать, что критерий, используемый для сравнения двух дисперсий, подчиняется распределению Фишера.

22. По 20 наблюдениям получена зависимость .Стандартные ошибки коэффициентов регрессии составили 1.01 и 0.17 соответственно. Оценить значимость коэффициентов регрессии для 1% уровня значимости.

23. По 22 наблюдениям получена зависимость .Стандартные ошибки коэффициентов регрессии составили 0.32 и 0.11 соответственно. Оценить значимость коэффициентов регрессии для 5% уровня значимости.

24. При оценивании регрессии по 25 наблюдениям между расходами на питание и доходом коэффициент составил 0.093, его стандартная ошибка 0.003 . Определить 95% доверительный интервал для коэффициента .

25. По 20 наблюдениям оценена регрессия типа . Объясненная дисперсия составила 243.8, остаточная дисперсия - 512.0 . Оценить качество регрессии для 5% уровня значимости.