Четыре субрежима действия тепловой машины (цикл Карно)

Численные значения эффективностей, определенных в (3) – (6), существенно зависят от характера квазистатических процессов, реализующих соответствующие циклы, и лишь в особом случае, называемом циклом Карно, эффективности (3) – (6) имеют оптимальные значения, выражающиеся только через отношение температур Т^–/Т⁺<1 холодильника и нагревателя. Переход от величин «теплот» Q^– и Q⁺ к температурам Т^– и Т⁺ проводится на основе соотношения (2), которое, в свою очередь, легко получить, используя диаграмму цикла Карно на фазовой плоскости энтропия S – температура T, где эта диаграмма имеет вид прямоугольника со сторонами (Т⁺–Т^–) и (S⁺–S^–).

Это значительно удобнее, чем диаграмма того же цикла Карно на фазовой плоскости давление P – объем V, где требуется знать вид уравнений P(V) для изотермы и адиабаты рабочего тела. Правда, в силу универсальности тепловой машины можно использовать в качестве рабочего тела идеальный газ с хорошо известными уравнениями P(V), но в любом случае S–T диаграмма для цикла Карно удобнее и проще, чем P–V диаграмма.

Нетрудно подсчитать, что площадь прямоугольного цикла А=(Т⁺–Т^–)(S⁺–S^–) равна Q^–+Q⁺, илис учетом равенства (1), А=W; здесь учтено, что согласно соотношению Клаузиуса TdS=δQ в двух изотермических процессах (при Т=Т⁺и Т=Т⁻) теплоты равны Q⁺=Т⁺(S⁺–S^–) и Т^–(S^––S⁺)=Q^–. Геометрический факт максимальностиплощади А при заданных значениях (Т⁺, S⁺) и (Т^–, S^–) объясняет максимальность работы W в цикле Карно, причем знак W зависит от направления обхода фазовой диаграммы цикла Карно.

Наконец, сложив два изотермических изменения энтропии в цикле Карно (два адиабатических изменения, по определению, равны нулю) получим соотношение (2) в виде (S⁺–S^–)+(S^––S⁺)≡0=(Q⁺/Т⁺)+(Q^–/Т^–), что дает ключевое соотношение Q^–/Q⁺=–Т^–/Т⁺. С его помощью для всех эффективностей (3) – (6) получаем следующие выражения:

 

ξ=Т^–/Т⁺, η=1–ξ=1−Т^–/Т⁺=ΔТ/Т⁺, θ=1/η=Т⁺/ΔТ, χ=θ−1=θξ=ξ/η, (7)

 

где использовано понятие перепада температур ΔТ=Т⁺−Т⁻>0 между нагревателем и холодильником; напомним, что, по условию, величина ΔТ всегда строго положительна.

Согласно результирующим соотношениям (7), максимально возможные значения эффективностей тепловой машины ξ, η=1−ξ, θ=1/η, χ=θ−1 в цикле Карно не зависят от природы рабочего тела, а определяются лишь температурами Т⁺ и Т^–. Кроме того, четыре величины ξ, η, θ, χ удовлетворяют трем соотношениям – например, ξ+η=1, θ−χ=1, θ=1/η, откуда следует, что независимой величиной является лишь одна – например, ξ=Т^–/Т⁺.

Как видно из (7), эффективность η в субрежиме теплового двигателя, обычно называемая КПД, всегда меньше единицы, но тем ближе к ней, чем больше перепад температур ΔТ; формально говоря, η=1 в случае Т^–=0, когда ΔТ=Т⁺, однако этот случай нереализуем в силу 3-го начала ТД. Интересно, что согласно (7) для эффективности θ в субрежиме обратного теплового насоса величина θ, наоборот, всегда превышает единицу, причем тем сильнее, чем меньше ΔТ.

Заметим, что при малых значениях ΔТ имеем обычно η«1, так что θ»1 и χ≈θ; особенно интересно, что при η«1 имеем ξ≈1, что означает почти 100%-ную эффективность тепловой машины в субрежиме прямого теплового насоса. Это неудивительно, поскольку перенос теплоты идет в «естественном» направлении – от нагревателя к холодильнику при минимальном (но все же ненулевом) перепаде ΔТ. Ясно, что учет неидеальности тепловой машины и неквазистатичности ее действия всегда приводит лишь к понижению реального КПД; для большинства реальных технических устройств он не превышает 0,3÷0,4, т.е. 30÷40%.