Алгебраические операции. Введение понятия дистрибутивность.
Аксиомы ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности.
Для любого натурального числа N привести пример алгебраической операции на N+1 элементе, в которой некоторый элемент имеет N обратных.
Утверждение : если операция ассоциативна, то обратный элемент, если он существует, будет единственный.
Доказательство: пусть а некоторый элемент , а b и с его обратные, тогда
( благодаря ассоциативности).
Замечание : Если обратных элементов несколько, то ассоциативности точно нет.
Если обратный элемент единственный, то в случае мультипликативной операции его принято обозначать - обозначение!, а в случае аддитивной операции - обозначение!
в смысле понятия степени, как количество перемножений полная чушь
Что будет
Так как при умножении обратного элемента на нейтральный, т.е. е
Операция сводится к сложению показателей степени.
- условное обозначение.
Коммутативность :
При записи алгебраической операции в виде таблице коммутативность легко распознать, т.к. таблица становится симметричной относительно главной диагонали.
На 4-х элементах алгебраических операций, а коммутативных в 4100 раз меньше .
Различные значения , не зависящие друг от друга, могут принимать роль 10 элементов таблицы, расположенных на и над главной диагональю.
А сколько операций из 4-х элементов с нейтральными элементами?
А сколько алгебраических операций на 4 – х элементах коммутативных и с нейтральным элементом?
По таблице легко определить, если нейтральный элемент и есть ли нейтральный элемент и есть ли коммутативность, а вот ассоциативность из таблицы не видна, ее нужно проверять вручную.
Если у алгебраической операции n элементов, то тогда количество троек будет и умножений.
При n=4 , умножений, чтобы проверить ассоциативная она или нет.
«Хорошие» свойства :
1) Ассоциативность
2) Коммутативность
3) Нейтральное
4) Обратное
Определение : Пусть , в котором задано ассоциативная алгебраическая операция, тогда, p - полугруппа.
Полугруппа по сложению, она коммутативная и ассоциативная с умножением(аналогично).
Полугруппы часто встречаются в математическом и функциональном анализе, т.к. суперпозиция всегда ассоциативна.
Пусть , на котором задана ассоциативная операция с нейтральным элементом, тогда и ее называют моноид.
Множество ненулевых N чисел по умножению – моноид.
имеет место быть
Пусть , на котором задана алгебраическая операция, ассоциативная, имеющая нейтральный элемент и все элементы имеют обратный элемент – такой термин называется группой.
Множество целых элементов по сложению образуют группу. Z – группа.
Множество рациональных чисел образуют группу. по сложению.
Универсальный пример групп – симметрии любого математического объекта.
Симметрия – объект, при отображении переходит сам в себя.
Например : треугольник имеет 6 симметрий, окружность имеет множество симметрий.
Чем больше симметрий, тем объект выглядит симметричней .
Вопрос : Почему симметрия образует группу?
Доказательство :
1) Ассоциативность есть(т.к. симметрия – это отображение, а суперпозиция отображения ассоциативна)
2) Нейтральный элемент (тождественное отображение).
3) Обратный, если преобразовать объект, то всегда существует и обратный элемент ; возвращает объект в исходное состояние.
Любая перестановка объектов некоторого множества Х является симметрией, так как у множества Х нет никакой структуры, то любая перестановка его не изменяет.
Если в множестве Х n элементов, то будет n! Перестановок
n!! – произведение нечетных элементов
двойной факториал например :
(Факториал факториала)
Обоснование : если на множестве Х внести некую структуру, а симметрии должны ее сохранять, то группа симметрий сразу уменьшится, поэтому любая группа в иную группу перестановок (самая универсальная вещь).
Пусть на множестве К введено 2 алгебраические операции :
1) Ассоциативная, коммуникативная, с 1-м нейтральным и 1-м обратным элементом и ее называют сложением;
2) Ассоциативная и ее называют умножением
Если операции между собой не связаны, то новой сущности математической не возникает, а связь между ними называется дистрибутивностью
левая ассоциативность
правая ассоциативность.
Это множество с 2-мя (К) называется кольцом.
Р(поле)!
Пусть , на котором заданы 2 алгебраические операции сложение и умножение. По сложению коммутативная группа, по умножению множество элементов коммутативные и связаны законами дистрибутивности. Такое множество называется полем.
Если операция умножения не коммутативная, то тогда называется не полем, а телом.
В полугруппе и моноиде можно только(+) или (*), в зависимости от операций:
В группе можно (+ или -) – аддит.; или (* и /)
В кольце(+ - *);
В поле (+ - * /)
В полугруппе 1 аксиома : ассоциативности;
В моноиде 2 аксиомы : ассоциативность и нейтральный элемент;
В группе 3 аксиомы: ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент.
В кольце 7 аксиом : ассоциативность сложения, коммутативность сложения, обратный по сложению и т.д
В поле 10 аксиом.
Кольцом является : кольцо целых чисел, кольцо квадратных матриц, кольцо многочленов и др.
Полем является : поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, и самое важное поле .
В кольце для любого элемента а выполняется