По принципу суперпозиции полный потенциал

, (3)

где интегрирование ведется по всей длине стержня. Тогда

. (4)

Здесь , константа вынесена за знак интеграла и использовано, что первообразной функцией для функции является , в чем можно убедиться дифференцированием:

 

 

Найти: φ=?

 

 

	По формуле (4) вычисляем потенциал:
Ответ: φ=1250 В

Пример 3.

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ₁=100 нКл/м и τ₂=-50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти напряженность электрического поля в точках, удаленных от оси цилиндров на расстояния 3 см, 9 см, 15 см.

 

Дано: τ1=100 нКл/м τ2=-50 нКл/м R1=0.05 м R2=0.1 м r1=0.03 м r2=0.09 м r3=0.15 м ε=2	Решение:
Найти: E1=? E2=? E3=?
	Симметрия задачи позволяет воспользоваться теоремой Гаусса: поток вектора напряженность электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью, деленной на (εε0): . (1) здесь α – угол между вектором и нормалью к поверхности в данной точке. Возьмем Гауссову поверхность в виде цилиндра, коаксиального данным, высота которого равна h, а радиус r. Вектор напряженности электростатического поля может быть направлен только перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, параллельно основаниям, (см. рис.), тогда в левой части (1) надо учитывать только вклад через боковую поверхность цилиндра (для оснований α=900, cosα=0), причем для боковой поверхности α=0, cosα=1. Кроме того, в силу симметрии значение напряженности в любой точке боковой поверхности Гауссова цилиндра одинаково, и значение Е можно вынести за знак интеграла. Тогда , (2) где - площадь боковой поверхности Гауссова цилиндра. Теперь вычислим правую часть (1). При этом нужно рассмотреть 3 случая: 1) r1<R1. В этом случае внутрь Гауссовой поверхности не попадают заряды (q=0), и тогда из (1) и (2) следует, что E1=0. 2) R1<r2<R2. Внутрь Гауссовой поверхности попадают заряды, находящиеся только на внутреннем цилиндре радиуса R1 (см. рис.), поэтому суммарный заряд (по определению линейной плотности заряда): q=τ1h. (3) Из (1) – (3) получим: , откуда .   Здесь сделана замена .
	3) R2<r3. Теперь Гауссова поверхность охватывает оба цилиндра, несущие свободные заряды с линейными плотностями τ1 и τ2, но при этом она проходит вне диэлектрика, так что надо положить ε=1, а q=(τ1+τ2)h, тогда ,
Ответ: E1=0 E2=104 В/м E3=6.103 В/м

Пример 4.

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ₁=100 нКл/м и τ₂=-50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти разность потенциалов цилиндров.

 

Дано: τ1=100 нКл/м τ2=-50 нКл/м R1=0.05 м R2=0.1 м ε=2	Решение: Воспользуемся результатами, полученными в задаче 3: напряженность электростатического поля между цилиндрами, при R1<r<R2, вычисленная по теореме Гаусса, равна: . (1) По формуле связи между напряженностью и потенциалом , (2) где интеграл удобнее брать по силовой линии поля, так что , так как направление напряженности совпадает с направлением радиус-вектора и элемента длины контура интегрирования , α=0. Подставив (1) в (2), получим: ,
Найти: Δφ=?
Ответ: Δφ=624 В

Пример 5.

Электрическое поле создано заряженной (Q=0.2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?

 

Дано: Q=2.10-7 Кл R0=0.05 м R=0.15 м

Решение: Энергию поля, заключенную в сферическом слое, будем находить через объемную плотность энергии, равную по определению , (1) а для энергии электростатического поля . (2) Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r>R0) такая же, как и напряженность поля точечного заряда, находящегося в центре сферы: , (3) причем будем считать, что ε=1 (поле в вакууме). Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме dV, равна: . (4) Поскольку поле сферически симметрично, в качестве dV следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r, внешним радиусом (r+dr), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя можно найти, перемножив площадь сферы на его толщину, так как слой тонкий: . (5) Наконец, искомую энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R0<r<R:

Найти: W=?

 

 

	,
Ответ: W=2.4 мДж

 

Пример 6.

Напряженность поля воздушного конденсатора, заряженного и отключенного от источника, равна E₀. В конденсатор параллельно обкладкам поместили пластину диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на гранях диэлектрика, выразить ее через поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора; найти напряженность поля в диэлектрике, а также напряженность поля, созданного только связанными зарядами; значение вектора электрического смещения и поляризованности диэлектрика.

Дано: E0 ε

Решение:     Напряженность поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с напряженностью в вакууме в ε раз, поэтому . (1) Суммарное (полное) поле в диэлектрике складывается из поля свободных зарядов и связанных (индуцированных) : , но и направлены противоположно (см. рис.), поэтому E=E0–E′, . (2) Напряженность поля связанных зарядов можно выразить через поверхностную плотность связанных зарядов (напряженность поля конденсатора):

Найти: σ′=? Е=? E′=? D=? P=?

 

, (3) тогда с учетом (2): . (4) Аналогично, напряженность поля только свободных зарядов , тогда из (4): . (5) Вектор электрического смещения , поэтому . (6) Далее, так как и векторы , и направлены одинаково, то: . (7) Можно выполнить проверку (7): по определению вектор поляризации равен суммарному дипольному моменту единицы объема вещества: , (8) а дипольный момент пластины диэлектрика равен произведению связанного заряда, локализованного на одной из граней , на плечо диполя – толщину пластины d, тогда , (9) так как объем пластины ΔV=Sd. Из (4) и (9) получаем (7).

Ответ:

Пример 7.

Определить силу тока в сопротивлении R₃ и напряжение на концах этого сопротивления. Е₁=1 В, Е₂=5 В, R₁=1 Ом, R₂=2 Ом, R₃=3 Ом.

 

 

Дано: Е1=1 В Е2=5 В R1=1 Ом R2=2 Ом R3=3 Ом

Решение:     Для решения задачи используем правила Кирхгофа. В первую очередь выберем направления токов во всех ветвях цепи (в данной задаче их три) и проставим обозначения токов (см. рис.). В цепи 2 узла (b и e), следовательно, по первому правилу должно быть записано одно уравнение (на одно меньше, чем количество узлов): - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это правило для узла b: I1–I2+I3=0, (1) Причем токи, заходящие в узел, берем с положительным знаком, выходящие – с отрицательным. По второму правилу Кирхгофа записываем два оставшихся уравнения (всего уравнений столько же, сколько токов): – алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме электродвижущих сил. Здесь также нужно соблюдать правила знаков: если направление обхода контура на данном участке противоположно направлению тока, то падение напряжения берем с отрицательным знаком; если ЭДС проходим от плюса к минусу, то берем ее с отрицательным знаком.

Найти: I3=? U3=?

 

	Таким образом, получим для контуров abef и abcdef: I1R1+I2R2=E1 (2) I1R1–I3R3=E1–E2. (3) Решаем систему уравнений (1) – (3); из (1) получим: I2=I1+I3, (4) После подстановки (4) в (2) и замены в (2) и (3) известных величин на их численные значения: 3I1+2I3=1, (5) I1–3I3=–4. (6) Из (4): I1=3I3–4, после подстановки в(5): , напряжение U3 найдем по закону Ома для участка цепи: U3= I3R3=1.18.3=3.55 В.
Ответ: I3=1.18 А U3= 3.55 В

 

Пример 8.

Сила тока в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от максимального значения до нуля за 10 с. Какое количество теплоты выделится в этом проводнике за указанный промежуток времени, если при этом по проводнику прошел заряд 50 Кл?

 

Дано: R=12 Ом t0=10 с Δq=50 Кл	Решение: Запишем закон, по которому изменяется со временем сила тока в проводнике. Ток убывает равномерно, то есть по линейному закону, от максимального значения I0, тогда: I=I0–kt, (1) где k – быстрота убывания тока: . (2) Заряд, прошедший через сечение, можно рассчитать, интегрируя силу тока по времени в рассматриваемом промежутке: так как , то , с учетом (2): . (3)
Найти: Q=?
	Количество выделившейся теплоты находим по закону Джоуля-Ленца, подставив (1):   . (4) Здесь учтено, что из (2) I0=kt0. Из (3) , тогда . Вычисляем: .
Ответ: Q=4000 Дж