Ионды кристалдар 4 страница

(6.6)

Мұндағы . Электрондардың кинетикалық энергиялары (олардың потенциалдық энергиясы нөлге тең) келесі формуламен есептеледі:

 

(6.7)

T=0К температурада барлық N электрондар Паули принципін сақтай отырып E-нің ең аз мәндерімен күйге ие болуға тырысады. Бұл жағдайда k кеңістікте бос емес күйлер k_F радиусты шар пішіндес болады. бұл шардың беті Ферми беті, ал оған жауап беретін энергия Ферми энергиясы деп аталады. Ферми энергиясы n еркін электрондар концентрациясына тәуелді және келесі формуламен есептеледі:

 

(6.8)

Температура артқанда күйлерге электрондардың орналасуы келесідей күйлердің бос болмау функциясымен беріледі:

 

(6.9)

Функцияның әр түрлі температурадағы графигі 6.4-суретте көрсетілген

 

6.4-сурет - Әр түрлі температурада Ферми-газ электрондарының күйлерді толтыру функциясы

Барлық металдар үшін барлық температурада олардың балқу температурасын қоса алғанда Ферми энергиясы шамадан 50-200 есе артық болады. Сондықтан металдарда электрондық газ күшті туындаған электрондардың Ферми-газ сияқты қарастырылады. Температура артқанда Ферми энергиясы елеусіз артады және келесі формуламен беріледі:

 

(6.10)

Осылайша, температураның артуы кеңістікте Ферми бетінің елеусіз жайылуына (размытию) әкеледі.

Дерліктей еркін электрондар моделінде иондық түйіндердің потенциалы кристал торының параметрлеріне сәйкес периоды периодтық функция ретінде қарастырылады:

 

(6.11)

 

Иондық остовтардың потенциалдары тек ядро зарядының иондық остов электрондарымен экрандалу (қалқалану) эффектісінен иондық орталыққа жақын аз облыста ғана үлкен шамаға ие болады. Сондықтан иондық остовтардың потенциалы кішігірім қозу ретінде қарастырылады.

(6.10) түрдегі потенциалдық энергиялы периодты өріс пайда болғанда (6.11) толқындық функциясы келесі формулаға сәйкес өзгереді деген Блох теоремасы бар:

(6.12)

мұндағы - және -ға тәуелді және иондық түйіндердің потенциалдық энергиясы секілді периодқа ие периодты функция. Дерліктей еркін электрондарда жуықтап, кристалдың ішіндегі барлық кеңістікте бірге жуық, және иондық остовтардың «ішкі» кіші облыстарында ғана олар айтарлықтай бірден ерекшеленеді.

Дерліктей еркін электрондар моделінде ионды остовтардың периодты өрісін ескеру электрон энергиясының толқындық векторға, жеке алғанда оның кристалдағы бағытына тәуелді өзгеруіне әкеледі. Осының салдарынан Ферми беті сфералық болмайды және неғұрлым күрделі пішінге ие болады, дегенмен ол кристалда электрон энергиясының -ға тәуелділігі үшін қатынасы орындалатындықтан ол центрлік симметриялы болады.

функциясының елеулі ерекшеліктері Бриллюэн аймағының шекарасының маңында байқалады (1.3 бөлімді қараймыз). Көрнекілік үшін a периодты қарапайым куб кристалл торын қарастырамыз. Электрон [100] бағытымен қозғалсын және толқындық векторға ие болсын делік. Егер біз ионды остовтардың өрістерін ескермесек, онда 6.7- суреттегідей толқындық векторға энергияның квадраттық тәуелділігін алар едік.

Білетініміздей электрон толқындық қасиетке ие, жеке алғанда ға тең де-Бройл толқынының ұзындығына ие. немесе дәл сол сияқты болғанда осіне қарсы бағыттағы иондардан шашыраған толқындардың күшею шарты орындалады, шындығында көршілес атомдармен шашыраған толқындардың оптикалық жол айырымы 2a тең, да электронның бүтін де-Бройл толқын ұзындығы дәл сияды. Сонда түскен толқынмен интерференцияланатын интенсивті шағылған толқын пайда болады, бұл тұрғын толқынның түзілуіне әкеледі.

Тұрғын толқын кубтық тордың «түйіндерінде» шашақтануы немесе олардың арақашықтығының «ортасында» шоқтануы мүмкін (6.5-сурет). Шашақтар басқа нүктелерде орналаса алмайды, себебі, мұндай жағдайда кристалл торына қатысты электрондық бұлттың шашақтануының орналасуының симметриялылығы бұзылар еді.

 

6.5-сурет - Периодты a кубтық кристалл торындағы электронды толқындардың таралуының сызбанұсқасы және осы торда (а) тұрғын толқынның пайда болуы; электрон энергиясының еркін электрондар моделінде және дерліктей еркін электрондар моделінде толқындық векторға тәуелділігі (б)

 

6.6-сурет - a периодты кубтық кристалл торда электрондық толқындардың таралу схемасы және осы торда тұрғын толқынның түзілуі. Электрон энергиясының еркін электрондар және дерліктей еркін электрондар моделінде оның толқындық векторға тәуелділігі

Tолқындық функцияның модулінің квадраты мен электронның бар болу ықтималдығының тығыздығы және кристалдағы орташа электрондық тығыздық байланысты. Шынымен де тұрғын толқынның шашақтарының (толқындық функцияның және электрондық тығыздықтың максимумдарының) кристалл торының иондарының орнында орналасқанда оң зарядталған иондармен электрондық бұлттың (теріс зарядталған) әсерлесуінің кулондық энергиясы тұрғын толқынның шашақтары кристалл торының иондарының арасында орналасқандағыдан аз болады. Осылайша, болғанда функциясының мәнінің бір емес айтарлықтай ерекшленетін екі мәні болады. үздіксіз екендігін ескеріп ның қалған барлық мәндерінде 6.6-суреттегідей тәуелділігінің графигін тұрғызуға болады.

Бұл нәтижені [100] параллель емес толқындық векторлы электрондарға жалпылауға болады (6.5-сурет). Сонда векторының соңы Бриллюэн аймағының шекарасына түскенде (1.20) ға сәйкес Вульф-Брегг шарты орындалады және интенсивті шағылған толқын қалыптасады. Осылайша Бриллюэн аймағы шекарасында тәуелділігінің үзілуі байқалуы керек. Бриллюэн аймағындағы күй саны 2N-ге тең (электрон спинін ескергенде). Ол энергетикалық аймақтағы күй санына тең. Осылайша күшті байланыс моделіне де, дерліктей еркін электрондар моделіне де сәйкес электрондар энергиясы шкаласында рұқсат етілген және рұқсат етілмеген аймақтардеп аталатын энергияның рұқсат етілген және рұқсат етілмеген бөліктері болады, әрбір рұқсат етілген аймақтағы күй саны кристалл атомының екі еселенген санына еселі.

Кристалдық тордағы электрондар динамикасы. Кванттық теорияның маңызды және күтпеген нәтижесі кристалл торының периодты потенциалын ескеру электронның еркін кеңістіктегі қозғалысымен салыстырғанда электрон қозғалысының тұрпатын түбегейлі өзгертпейді.

Кристалда электрондар қозғалысын қарастырғанда келесідей анықталмағандық қатынасын ескеру керек:

(6.13)

Мұндай жағдайда диапазонда ретті мәнге ие қандай да бір жылдамдықпен қозғалып келе жатқан өлшемі ретті кеңістіктің қандай да бір аймағындағы электронның орны туралы айтуға болады. Осы кезде электронның импульсімен байланысқан толқындық векторы қандай да бір анықталмағандыққа ие болуы керек. Еркін электронның толқындық функциясы келесі түрдегі жазық толқын:

(6.14)

болатындықтан мәнге ие электронға қандай да бір диапазонда толқындар теориясына сай толқындық жиынтық (пакет) сәйкес келеді. Толқындық жиынтықтың амплитудасының максимумының таралу жылдамдығы дәлірек топтық жылдамдық былай анықталады:

(6.15)

Нақ осы жылдамдық толқындық жиынтықтың және онымен байланысқан электронды кездестіру ықтималдығы ең үлкен болатын кеңістіктің облысының орын ауыстыруын сипаттайды. Топтық жылдамдық ұғымы үш өлшемді күй таралуына жалпыланады: үш өлшемді кеңістікте топтық жылдамдық векторы функция градиенті сияқты беріледі. Ол Ферми бетіне перпендикуляр.

Электронның классикалық бөлшек ретінде сыртқы күштің әсерінен қозғалысын қарастырамыз. мәнінің қалай өзгеретіндігін есептейміз. Ол үшін -дің уақыт бойынша туындысын есептейді (классикалық механикадағы үдеуге аналогы). күш векторы топтық жылдамдық үшін бір түзудің бойымен бағытталған. Сонда тің -нің осы өске проекциясы үшін мынаны аламыз:

(6.16)

 

Бұл формуланы мына түрде қайта жазуға болады:

(6.17)

(6.18)

Ол келесідей қабылданғанда Ньютонның екі заңына ұқсас:

(6.19)

- шамасын электронның эффективті массасы деп атау келісілген. Оның мәнінде жанама түрде кристалдың периодты өрісінің электронның толқындық векторынан электронның энергиясының өзгеру заңына әсері ескерілген.

Электронның эффективті массасы электронның массасынан елеулі ерекшеленеді және (6.19) -ға сәйкес электронның әртүрлі толқындық векторлары үшін әртүрлі мәнге ие. модулінің аз мәнінде (6.6-суретте) функциясының екінші ретті туындысымен берілетін оның мәні оң болады, ал Бриллюэн аймағы шекарасына жақын мәнінде теріс болады. Соңғы жағдайда күштің ықпалы сыртқы күшті үдетпейді, керісінше электронды тежейді. Мұнда ешқандай парадокс жоқ, себебі, тежелу кристалдың периодты өрісінің электрон қозғалысына ықпал етуіне байланысты. Мұндай электрондар сыртқы электромагниттік өрістерде теріс массалы бөлшектер сияқты немесе оң зарядталған бөлшектер сияқты ұстайды. Мұндай бөлшекті теріс массаға ие немесе қарсы таңбалы зарядты бөлшектер деп санауға болатындығын айта кетеміз, себебі, сыртқы электромагниттік өрістің әсерімен бөлшектің үдеуі өз таңбасын масса таңбасы өзгергенде де, сондай ақ заряд таңбасы өзгергенде де өзгертеді. Мұндай оң зарядталған бөлшектерді кемтіктер деп атау келісілген.

6.6-суретте мұндай иілістерге (6.19)-ға сәйкес шексіз (немесе өте) үлкен эффективті масса сәйкес келеді. Мұндай электрон іс жүзінде сыртқы күштің әсерінен өзінің жылдамдығын өзгертпейді.

Электрондардың басым бөлігі үшін эффективті масса ережеге сай оң. Жеке алғанда, егер аймақтар жартылай толса немесе одан аз болса, (6.6-суретті қара) барлық электрондар оң. Теріс эффективті массаға тек Бриллюэннің бірінші аймағының шекарасының маңындағы күйдегі электрондар ғана ие болады.

 

6.2. Диэлектриктер, жартылай өткізгіштер және өткізгіштер

 

Электрондармен аймақтардың толу сипаты заттың өткізгіштік механизмін анықтайды және заттардың диэлектриктер мен өткізгіштерге бөлінуін түсіндіреді.

Ең алдымен аз энергиялы аймақтар толады, олар толығымен толтырылған болады. Толығымен толған бірақ үлкен энергиялы аймақ валенттік аймақ деп аталады. Одан кейінгі өткізгіштік аймақдеп аталатын аймақ толмаған немесе ішінара толған болады (6.7-суретті қара). Толмаған аймақ жартылай өткізгіштер және диэлектриктер жағдайына сай, ал ішінара толған аймақ өткізгіштерге сәйкес.

 

6.7-сурет - Заттағы энергетикалық аймақтардың толу сұлбасы

 

Өткізгіштер. Егер өткізгіштік аймағы ішінара толған болса, онда мұндай заттар өткізгіштер деп аталып, токты жақсы өткізеді, бұл электрондардың сыртқы электр өрісінде күйлер бойынша қайта орналасуы мүмкіндігімен қамтамасыз етілген.

Диэлектриктер. Егер өткізгіштік аймағы толық толса, онда ондағы бос емес күйлер симметрия центріне ие Бриллюэн аймағын толық толтырады; жақын бос емес күйлер келесі аймақта болады және бос емес күйлерден энергиясы бойынша шамасына, яғни тыйым салынған аймақ еніне ерекшеленеді. ретті жылулық қозғалыс энергиясы қайта топтасуға жетпейді.Сондықтан электр тогының пайда болуын қамтамасыз ететін күйлер бойынша электрондардың қайта топтасуы іске аспайды. Осылайша, толық толған аймақ заттың электрөткізгіштігіне үлес қоспайды. Мұндай заттар диэлектриктер деп аталып электр тогын нашар өткізеді.

Жартылай өткізгіштер. Егер алдыңғы жағдайда (диэлектриктер) тыйым салынған аймақтың ені өте үлкен емес, мысалы 10 құраса, онда электорондардың бір бөлігі жылулық қозғалыс нәтижесінде толық толған аймақтан өткізгіштік аймаққа «өтеді». Мұндай жағдайда валенттік аймақта еркін күйлер кемтіктер, ал өткізгіштік аймағында электрондар алатын болады. электрондар өткізгіштік аймағында да валенттік аймақта да 52-суретте көрсетілгендей сыртқы электр өрісінде күйлер бойынша қайта толтырылу мүмкіндігіне ие болады. Дегенмен, өткізгіштік аймақтағы электрондар және валенттік аймақтағы кемтіктер аз болатындықтан мұндай жартылай өткізгіштер деп аталатын зат салыстырмалы түрде электр тогын нашар өткізеді.

Енді қандай заттардың өткізгіштер, диэлектриктер және жартылай өткізгіштер болатындығын қарастырамыз.

Сілтілік және асыл металдар білетініміздей, бір валентті электронға ие. Оларда ең үлкен энергиялы аймақ жартылай толады, бұл 6.6 және 6.8 суреттегі схемаға сәйкес. Мұндай металдар электр тогын жақсы өткізеді.

Төрт валентті көміртегі (алмаз) өткізгіштік аймақтан 5 эВ шамаға тыйым салынған аймақтан бөлінген толық толған валенттік аймаққа ие; алмаз жақсы изолятор болып табылады. Диэлектриктер болып табылатын иондық кристалдар да толығымен толған валенттік аймаққа ие атомдардан тұрады.

6.8-суретте жартылай өткізгіштер, диэлектриктер және өткізгіштер жағдайында аймақтардың толу тұрпаты сызбанұсқа түрінде келтірілген.

6.8-сурет - Өткізгіштер, диэлектриктер және жартылай өткізгіштер жағдайында электрондармен аймақтық толуы.

 

Төртвалентті кремний және германий өткізгіштік аймағынан 1,2 және 0,7 эВ шамаға тыйым салынған аймақпен бөлінген толықталған валенттік аймаққа ие, бұл энергиялар бөлме температурасында 10 құрайды, электрондар валенттік аймақтан өткізгіштік аймаққа өтеді; кремний және германий ең кең таралған жартылай өткізгіштер. Германийдің электрөткізгіштігі қыздырғанда кремнийдікіне қарағанда тез артады, себебі германийдің тыйым салынған аймағының ені кремнийдікіне қарағанда аз.

Сілтілі жер элементтері екі валенттік электронға ие, олардың аймағы толығымен толуы керек, дегенмен осы металдардың аймағы үлкен сыйымдылыққа ие, жалпы аймақтаың түзілуімен жабылады, осының салдарынан үлкен энергиялы аймақтар жартылай толады, ал сілтілі жер металдарының өзі өткізгіштер болып табылады екен.

6.3. Өткізгіштің электр өтімділігі

 

Өткізгіштердің электрөткізгіштігін жартылай классикалық әдісті қолдана отырып қарастырған жөн болады.

Сыртқы электр өрісі болмағанда кеңістіктегі электрондардың бос емес күйлері ықшамдылық үшін Бриллюэннің бірінші аймағының қиылыспайтын шекарасының сферасы деп есептейік (6.9-сурет).

6.9-сурет - Электр өрісі тарапынан әсер ететін сыртқы күш әсерінен электрондардың күйі бойынша таралуының өзгеруі

Сыртқы өрістің пайда болуынан электронға әсер етеді. Олар Ньютонның үшінші заңына байланысты үдеу ала қозғалады:

(6.20)

 

τ уақыт өткеннен кейін электрон қосымша жылдамдық алады:

(6.21)

6.9-суретте көрсетілгендей электрондардың күй бойынша таралуы біраз қашықтыққа ығысады. Біраз уақыт өткеннен кейін электронның жылдамдығы мен таралуының ығысуы өте үлкен болуы мүмкін. Бірақ электронның өзара және басқа бағыттармен соқтығысуын ескеру керек.

Жетілген кристалл тор Бриллюэн зонасына түспейтін толқындық векторлары бар электрондардың қозғалысына кедергі болмайды.

Электрон динамикалық және статикалық болып бөлінетін кристалдық тор ақауларымен және электрондармен соқтығысады.

Динамикалық ақауларға кіретін фонондар және магнондармен электронның соқтығысуы қозғалыстағы бөлшектермен соқтығысуын елестетеді.

Статикалық ақауларға 2- бөлімдегі барлық кристалл ақауларының барлық түрлері кіреді және олар тыныштықтағы соқтығысуды елестетеді. Динамикалық ақаулардың концентрациясы температураның жоғарылауымен өседі, ал статикалық ақаулар шамамен тұрақты болып қалады.

Соқтығысқаннан кейін электрон релаксация уақытында үдеу ала қозғалады да, электронның жылдамдығының орташа мәні 0-ге жуықтап соқтығысуды қайталайды. Соқтығысуға дейінгі уақытта электрон дрейфті жылдамдық деп аталатын бағытталған қозғалыстың орташа жылдамдығына ие болады<#1171;ан қозғалыстың орташа жылдамдығына ие болады

 

(6.22)

 

Бұл ток тығыздығының ағуын қамтамасыз етеді:

(6.23)

 

Ом заңын ескеріп электр өткізгіштіктің коэффициентінің теңдеуін аламыз:

(6.24)

 

Меншікті кедергі үшін теңдеу былай жазылады:

 

(6.25)

 

арқылы электронның соқтығысуының орташа жиілігін белгілейміз. тәуелділігіне талдау жасау үшін температураның ақаулар концентрациясына тәуелділігін қарастыру керек.

Динамикалық және статикалық ақаулардың концентрациясы өте көп болмаған жағдайда, қозғалыстағы электрондарға бір-біріне қатыссыз әсер етеді. Осылайша екі қосындыдан тұратын электрондардың ақаулармен соқтығысуы жиілігін есептеуге болады:

(6.26)

Бірінші қосынды температураға байланысты емес. Екінші қосынды біріншіден фонондардың концентрациясына және электрондардың фонондармен соқтығысу механизміне, екіншіден электрондардың өзара соқтығысуына байланысты.