Симметрия топтарына мысалдар

 

Тең қабырғалы үшбұрыштың симметрия тобы.

Тең қабырғалы үшбұрыш – симметриялы фигура. Топтар теориясы осы фигура симметриясын сипаттауға, барлық симметрия түрленулерін анықтауға мүмкіндік береді. Егер үшбұрышты жазықтықтан шығармасақ, онда ол келесідегідей симметрия элементтерін қамтиды (1.8–сурет, сол жағы):

1.8-сурет. Тікбұрышты үшбұрыштың симметрия тобы

 

Үшінші ретті симметрия өсі (үшбұрыш ортасы арқылы, жазықтыққа перпендикуляр): үшбұрыш өз жазықтығынан 120° бұрышқа (L3 түрленуі) және 240° бұрышқа (L32 түрленуі) айналады. Симметрияның үш жазықтығы, бұл жазықтықтар үшінші ретті симметрия осі арқылы өтеді, сондықтан олар Pv арқылы белгіленеді.

3.Түйіндес түрлендірулер.

Сонымен: L3, L32, P1, P2, P3, E бар делік. Аталған түрленулер топты құру керек, яғни кез-келген екі элементтердің көбейтіндісі осы топтың элементін беруі керек. Сондықтан симметрияның түрленуінің жиынтығы үшін көбейту кестесін құруға болады. Тікбұрышты үшбұрыш симметриясының түрлену топтарына көбейту кестесін құру үшін қандай да бір симметрия элементінде жатпайтын нүкте алып, оған тізбектей барлық түрленулер мен түрлену туындыларын қолданайық. 1.8-суретте (үшбұрышта, оң жағы) бастапқы нүкте E арқылы белгіленген — ұқсас түрленулер, басқа нүктелер —L3 өсін айнала бұрылудың нәтижесі, кресттер — симметрия жазықтығынан шағылу нәтижесі. Осы суретті пайдалана отырып, көбейту кестесін құруға болады. Мысалы, P3P2 көбейтіндісін табу керек. σ2 нүктесі суретте бар. Оны σ3 шағылуа душар ету керек. Нәтижесінде L3 нүктесіне келеміз. Осылайша, P3P2=L3.

Осылай әрекет ету арқылы, тікбұрышты үшбұрыш симметриясының тобы C3v үшін көбейту кестесін аламыз (1–кесте; көбейту коммутативті болмағандықтан, көбейту ретін анықтау керек: бірінші сол бағанадан түрлену алынады, кейін – үстіңгі қатардан алынады).

 

1-кесте.Тең қабырғалы үшбұрыш симметриясы тобының көбейту кесте

 
C3v E L3 L32 P1 P2 P3
E E P3 L32 P1 P2 P3
P3 P3 P32 E P3 P1 P2
L32 L32 E L3 P2 P3 P1
P1 P1 P2 P3 E P3 L32
P2 P2 P3 P1 L32 E L3
P3 P3 P1 P2 L3 L32 E

Түрлену тобындағы екі элементтің көбейтіндісі коммутативті емес, яғни жалпы жағдайда A·B≠B·A болатындығы жоғарыда айтылған. Көбейтіндінің осы қасиеттерiн C3v тобының элементтерiнде көрсетуге болады, мысалы: L3·P1= P2, P1·L3= P3

Осы екі топ элементтері коммутация жасамайтындығы көрініп тұр.

Топшалар – өзі топты құрайтын, топтың көптеген элементтерінің жиынтығы. C3v тобының төмендегідей топшалары бар:

E, L3, L32 – (3); E, P1 – (2); E, P2 – (2); E, P3 – (2); E – (1)

Топшалардың реті – оның элементтерінің саны (жақшадаға сандарға қара). Топшалардың реті топтағы элементтер санының бөлгіші болып келетінін көрсетуге болады. C3v тобында 6 элемент бар, сәйкесінше олардың топшаларында 1, 2 және 3 реттер бар болып келеді. Математикалық көзқарас тұрғысынан топ толықтай көбейту кестесімен анықталады.

Екі топ егер олардың элементтері арасында өзара сәйкестік болса G және G' изоморфты деп аталады, онымен қоса кез-келген , онда болады, мұндағы A↔A', B↔B' және олар үшін AB↔A'B' (↔символы сәйкестікті білдіреді). Басқаша айтқанда, дәл осы әдіспен, осы топтардың бірінің элементтерінің атауын қайта өзгертсе топтар изоморфты болады. Олардың көбейту кестесі екінші топтың көбейту кестесімен сәйкестікте болуы керек.