Крамер формуласы

≠0

Шешімі: = 0 =

= = х= у= z=

1) Егер жүйенің анықтаушысы нөлге тең болмаса, онда жүйенің жалғыз ғана шешімі бар және формуласы бойынша есептелінеді.

2) егер D=0, онда , жүйенің шешімі жоқ;

3) егер D=0 және , онда шешімі жоқ немесе шешімі шексіз.

 

Тапсырманы орындауға арналған нұсқаулар

1 мысал: Жүйені шешу

Шешуі:

2 мысал. Сызықтық теңдеулер жүйесiн шешу.

Шешуi:

Крамер формуласын пайдалануға болады:

;

;

Демек берiлген жүйе шешуi:

3 мысал. Теңдеулер жүйесiн шешiңдер:

, Шешуi. Жүйенiң анықтауышын табайық:

Демек берiлген теңдеулер жүйесiнiң тек бiр шешуi болады. Ол нөлдiк шешу:

x₁=x₂=x₃=0

 

3. Матрицалық теңдеу

1. Матрицалық теңдеу: A · X = B

Бұдан: X = B · A−1

Сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица көмегімен шешу:

, егер , , .

Кері матрица тәсілімен шешу алгоритмі:

1.А матрицасының анықтауышын табу,

2. А матрицаның кері матрицаны табу: =

2. Шешімін табу

Тапсырманы орындауға арналған нұсқаулар

4 мысал. Теңдеулер жүйесiн кері матрица жолымен шешу

Шешуi. Теңдеулер жүйесiнiң анықтауышын табамыз:

. Демек теңдеулер жүйесiнiң матрицасы А-ның керi матрицасы А^-1 болады.

; ,

, , .

Сонда А-ның керi матрицасы

болады. Сонда х=А^-1В немесе

Сонда матрицаларды тең бөлу ережесi бойынша х₁=-4, х₂=1, х₃=-2 есеп шешуi болады.

5 мысал. Жүйені кері матрица көмегімен шешу:

Х = , B = , A =

Кері матрицаны табамыз А^-1.

D = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

 

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ = M₂₂ M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

 

A^-1 = ;

 

Х матрицасын табамыз.

Х = = А^-1В = × = .

 

Жауабы: x =1; y = 2; z = 3.

 

Матрицалық теңдеулерді орындауға арналған нұсқаулар

6 мысал. болатын барлық х матрицаларды табыңдар.

Шешімi. Бұл кезде болатындықтан

матрицаның керi матрицасы болмайды, сондықтан бұл есептi басқа жолмен шешемiз.

десек, онда: = болады, бұдан:

болатындықтан:

болады да, х₃=2-2х, х₄=1-2х₂ болады. Сонда iздеген матрицаның жалпы түрi болады. Мұндағы х₁, х₂ - кез-келген сандар.

 

Өзіндік жұмыс тапсырмалары

Сызықтық теңсіздіктер жүйесіне арналған тапсырмалар

1. Екi белгiсiздi сызықтық теңдеулер жүйесiн Крамер формуласын пайдаланып шешiңдер:

1) 2) 3) 4) 5

2. Үш белгiсiздi сызықтық теңдеулер жүйесiн Крамер формуласын пайдаланып шешiңдер:

1) 2) 3)

4) 5)

3. Екi белгiсiздi сызықтық теңдеулер жүйесiн Гаусс тәсілін пайдаланып шешiңдер:

1) 2) 3)

4)

4.Кері матрица әдiсiмен теңдеулер жүйесiн шешiңдер:

1) 2) 3)

 

5. Кері матрица әдiсiмен теңдеулер жүйесiн шешiңдер:

1) 2) 3)

6. Матрица (кері матрица) әдiсiмен шешiңдер:

1) 2) 3)

4) 5)

5. Берілген матрица: А= , В= , С= .

Теңдеуді шешу: а) АХ=В; б) ХА=С.

6.Матрицалық теңдеуді шешу:

1. 2. 3.

4. АХВ=С, егер А= , В= , С= .

5. 6.

7.

Практикалық жұмыс №6

«Сызықтық теңдеулер жүйесінің экономикалық мазмұны»

Жұмыс мақсаты:

Экономикалық мазмұндағы есептерді шығруда сызықтық теңдеулер жүйесін қолдана білу.

Жұмыс мазмұны:

1. Баланстық қатынастар

х_і - і-інші саланың барлық шығаратын өнімі (жалпы жасалатын өнім).

x_ij - i-інші саланың j-інші сала өзінің х_j – өнімін шығару үшін қолданатын өнімінің мөлшері.

у_і –і-інші саланың өндірістен тыс жерге сату үшін шығаратын өнімнің мөлшері. Мұны соңғы жұмсалыс өнімі деп атайды.

Баланстық қатынастар теңдеуі:

x_і = x_{і1 +} x_і2 + ... + x_іn +у_і , (і = 1, 2, ... , n)

2.Көпсалалы экономиканың сызықтық моделі

В.Леонтьев заңдылығы:

Ұзақ уақыт аралығында a_ij = шамалары өте аз өзгерді, оларды тұрақты сандар ретінде қарастырылады. Ал өндіріс технологиясы өзінің өнімін шығару үшін j-інші сала і-інші саланың тұрақты мөлшердегі өнімін пайдаланады. Бұл заңдылыққа байланысты j-інші саланың мөлшердегі өнімін шығару үшін і-інші саланың a_ij x_і мөлшердегі өнімі пайдаланады. Мұндағы a_ij – тұрақты сан, ал өндіріс технологиясы сызықты болады. a_ij сандары тура шығын коэфициенттері. Бұдан сызықтық гипотеза:

x_ij = a_ij x_j ; (і, j = 1, 2, ..., n) (1)

(1) теңдеуін теңдеулер жүйесі түрінде жазылуы:

х₁ = а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ... + а_1nх_n + у₁ ,

х₂ = а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + ... + а_2nх_n + у₂ ,

.......................................................

х_n = а_n1х₁ + а_n2х₂ + ... + а_nnх_n + у_n

-өнім мөлшерінің (жалпы өнім векторы)

-соңғы жұмсалыс мөлшерінің (соңғы пайдалану векторы) векторлық бағаналары

-тура шығын коэффициенттерінің матрицасы

= = , А = (2)

Матрицалық түрде жазылуы: = А + (3)

(2) матрицалары Леонтьев моделі деп аталады.

(3) теңдеуі сызықтық салааралық баланс теңдеуі деп аталады.

1 мысал.Бір уақыт аралығындағы өнеркәсіптің 5 саласының арасмындағы баланстың дерктері кестемен берілген:

№	Сала	Пайдалану 1 2 3 4 5	Соңғы жұмсалыс өнімі	Жалпы өнім
	Станок жасау						1 30
	Энергетика						8 10
	Машина жасау						5 5
	Автомобиль өнеркәсібі						1 15
	Көміртегі өндірісі және оның өңделуі						3 40

Соңғы жұмсалыс және жалпы шығаратын өнім векторларын, тура шығын кэффициенттерінің матрицасын табу керек және тура шығын коэффициенттерінің матрицасы өнімділігін анықтау керек.

Шешу. Таблицадағы деректер (1.3) қатынастарына сәйкес берілген: х_ij –алғашқы 5 тік жол, у_і –алтыншы тік жол, х_і –соңғы тік жол (і, j = 1, 2, ..., n). (1.4) және (1.6) формулалары бойынша

= = А =

3. Леонтьевтің өнімділік моделі

Егерде барлық элементтері теріс емес кез келген векторы үшін (3) теңдеуінің барлық элементтері теріс емес шешімі бар болса, онда барлық элементтері теріс емес А матрицасы өнімділік матрицасы деп аталады.

А матрицасының өнімділігін анықтайтын баламалар

1.Өнімділіктің бірінші баламасы:(Е –А)^-1 матрицасының бар болуы және оның элементтерінің теріс емес болуы қажетті және жеткілікті.

2.Өнімділіктің екінші баламасы:Барлық элементтері теріс емес А матрицасының кез келген тік жолы мен жатық жолы элементтерінің қосындысы бірден артпаса, яғни

немесе

А матрицасы өнімді болады,

= (Е –А)^-1

(Е –А)^-1 матрицасы толық шығын матрицасы деп аталады.

2 мысал.Бір уақыт аралығындағы үш саланың арасындағы баланстың деректері кестеде берілген:

№	Сала	Пайдалану   1 2 3	Соңғы жұмсалыс өнімі	Жалпы өнім
	Сутектерін өндіру және өңдеу
	Энергетика
	Машина жасау

 

Соңғы жұмсалыс өнімі өндіріс салалары бойынша 60, 30 және 70-ке дейін өскенде жалпы өнімнің мөлшерін табу керек.

Шешуі. Жалпы және соңғы жұмсалыс өнімі векторларын, тура шығын коэффициенттерінің матрицасын құрамыз. (1.4) және (1.6) формулалары бойынша

= = А =

А матрицасының өнімділік баламасының шарттамрын қанағаттандырады. Есептің шарты бойынша соңғы жұмсалыс өнімі векторы

= түрінде жазылады.

А матрицасы өзгермеген жағдайда баланстық қатынастарды қанағаттандыратын жаңа

векторының компоненттері х₁, х₂, х₃

х₁ = 0,15х₁ + 0,25х₂ + 0,1х₃ +60

х₂ = 0,2х₁ + 0,2х₂ + 0,4х₃ +30

х₃ = 0,2х₁ + 0,1х₂ + 0,2х₃ +70

жүйесінен табылады.

Бұл жүйе матрицалық түрде былай жазылады:

= А + немесе (Е - А) =

Мұнда

Е - А =

Осы теңдеуден (Е - А)^-1 = формуласы шығады. (Е - А)^-1 –толық шығын матрицасын табамыз:

= 0,432 0,

(Е - А)^-1 =

Табылған кері матрица өнімділіктің бірінші баламасының шарттарын қанағаттандырады.

Енді жалпы өнім векторы ты табамыз:

= =

 

Соңғы қатынастан векторын үшінші таңбаға дейінгі дәлдікпен табамыз:

=

Сонымен, соңғы жұмсалыс өнімінің берілген өсуін қамтамасыз ету үшін жалпы өнімді өсіру керек, дәлірек айтсақ, алғашқы деректерге қарағанда көміртектерін 23,8 -ке, энергетиканың көлемін 77,6 -ке, ал машина жасау саласының өнімдерін 36,4 -ке өсіру керек.

3 мысал. Берілгені: Өнеркәсіп үш түрлі шикізатты пайдаланып үш түрлі бұйым шығарады.

Табу керек:шикізат қорына байланысты әрбір бұйымның жасалу мөлшерін.

Шешуі: Жасалынатын бұйымдардың сандарын х₁, х₂ және х₃ –пен белгілеу.

Сонда шикізат қоры тұтас жұмсалады деп, баланстық қатынасты жазу:

Керекті өндірістік көрсеткіштер:

Шикізат түрі	Әр өнімге жұмсалатын шикізаттардың мөлшері салмақ бірлігі/өнім	Шикізат қоры салмақ қоры

5х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 2700

2х₁ + х₂ + х₃ = 900

3х₁ + 2х₂ + 2х₃ = 1600

Бұл жүйені кез келген жолмен шешу арқылы, бар шикізат қорын тұтас пайдаланғанда жасалатын бұйымдардың сандары х₁ = 200, х₂ = 300, х₃ = 200 болатынын көреміз.

 

Сызықтық теңдеулер жүйесінің экономикалық мазмұнына арналған тапсырмалар

Фирма 3 түрлі былғары (қолғап, портмоне, және сумка) бұйым шығаруға маманданған. Бұларды шығару үшін 3 түрлі шикізатты пайдаланады. Бір бұйымға жұмсалынатын шығын мөлшері мен 1 аптаға кететін шикізаттың көлемі белгілі (кестеде берілген). Әрбір шығарылатын өнімнің апталық көлемін табу.

Қолғап – х₁, портмоне – х₂, сумка – х₃. Сызықтық теңдеулер жүйесін құру.

№	Шикізат түрі	Бір бұйымға кететін шикізат шығынының мөлшері	Шикізаттың апталық шығыны (ш.б.)
Қолғап	Портмоне	Сумка
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3
	S1
S2
S3

Практикалық жұмыс №7

«Сызықтық бағдарламалау есебі»

Жұмыс мақсаты:

Сызықтық теңсіздіктер жүйесін графиктік тәсілмен шешуді үйрету.

 

Жұмыс мазмұны:

1 мысал. 2x₁ + 3x₂ – 12£0 теңсіздігімен анықталатын жарты жазықтықты табыңыз

x2

x1

Шешуі: 2x₁ + 3x₂ – 12 = 0 теңдеумен анықталатын шекараны x₂ = 12/3 – 2/3*x₁ түрінде жазып, түзу сызықтың графигін жүргізіп жоғары жартыжазығын таңдаймыз.

Өзіндік жұмыс тапсырмалары

№ 2 2x₁ – 3x₂ ³ 0 теңсіздігі қай жарты жазықтықты анықтайды?

№ 3 x₁ +x₂ – 5 £ 0 теңсіздігі қай жарты жазықтықты анықтайды?

№ 4 4x₁ + x₂ + 3 £ 0 теңсіздігі қай жарты жазықтықты анықтайды?

№ 5 x₁ – 1 ³ 0, x₂ –1 ³ 0, x₁ + x₂ – 3 ³ 0, –6x₁ –7x₂ +42 ³ 0

теңсізідіктермен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

№ 6 x₁ ³ 0, x₁ + x₂ – 2 ³ 0, x₁ – x₂ + 1 £ 0, x₁ £ 2 теңсіздіктер жүйесімен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

№ 7 x₁ ³ 0, x₁ +3x₂ £ 3, x₁ – x₂ + 1 £0 теңсіздіктер жүйесімен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

№ 8 2x₁ – x₂ ³ –2, x₁ – x₂ ³ –2, x₁ £ 1, 2x₁ – x₂ ³ 3 теңсіздіктер жүйесімен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

№ 9 x₁ – x₂ + 1 ³ 0, 2x₁ + x₂ – 7 ³ 0, x₁ – 2x₂ + 4 ³ 0 теңсіздіктер жүйесімен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

№10 x₁ – x₂ + 1 ³ 0, 2x₁ + x₂ – 7 ³ 0, x₁ –2x₂ + 4 ³ 0 теңсіздіктер жүйесімен анықталатын жазықтықтың бөлігін табыңыз

Задача.

 

Сызықтық бағдарламалаудың негізгі есебі

№1 Берілген шектеулерде L(x)=12x₁ +4x₂ сызықтық форманы минимумдау қажет.

x₁ + x₂ ³ 2, x₁ ³1/2, x₂ £ 4, x₁ - x₂ £ 0

Шешуі: x₁ + x₂ = 2, x₁ =1/2, x₂ = 4, x₁ - x₂ = 0 түзулермен шектелген облысты құрып, С(12,4) векторын сызайық. Осы вектордың бойымен L(x) түзуі оң бағытта жылжыса, оның мәні өседі, кері бағытта – кемиді. Осы себепте, аталған облысқа алғашқы кіріс нүктесінде сызықтық форманың – ең кіші, ал шығу нүктесінде – ең үлкен мәні қабылданады.

 

№2 Берілген шектеулерде L(x)=2x₁ +2x₂ сызықтық форманы минимумдау қажет 3x₁ - 2x₂ ³ -6, 3x₁ + x₂ ³ 3, x₁ £ 3

№3 Берілген шектеулерде L(x)=x₁ +3x₂+ x₃ сызықтық форманы минимумдау қажет x₂ + x₃ £ 3, x₁ - x₂ ³ 0 3x₁ + x₂ £ 15, x₂ ³ 1

№4 Берілген шектеулерде L(x)=3x₁ -6x₂ + 2x₃ сызықтық форманы минимумдау қажет 3x₁ + 3x₂ + 2x₃ £ 6, x₁ + 4x₂ +8x₃ £ 8

№ 5 Берілген шектеулерде L(x)=X₁ + X₂ ³ 1сызықтық форманы минимумдау қажет –2X₁ + X₂ £ 2, X₁ +X₂ £ 4, X₁ £ 3, X₁,₂ ³ 0.

№ 6 Берілген шектеулерде L(x)=–X₁ + X₂ £ 1 сызықтық форманы минимумдау қажет X₁ – X₂ £ 3, X₁ +X₂ £ 8, 2 £ X₁ £ 5, 1 £ X₂ £ 4.

№ 7 Берілген шектеулерде L(x)=X₁ – 2X₂ £ 4 сызықтық форманы минимумдау қажет –X₁ + 2X₂ £ 4, X₁ +2X₂ £ 6, X₁,₂ ³ 0.

№ 8 Берілген шектеулерде L(x)=4X₁ – 2X₂ £ 12 сызықтық форманы минимумдау қажет –X₁ + 3X₂ £ 6, 2X₁ +4X₂ ³ 16, X₁,₂ ³ 0.

№ 9 Берілген шектеулерде L(x)=2X₁ + X₂ £ 10 сызықтық форманы минимумдау қажет –2X₁ + 3X₂ £ 6, 2X₁ +4X₂ ³ 8, X₁,₂ ³ 0.

№ 10 Берілген шектеулерде L(x)=X₁ – 2X₂ £ 2 сызықтық форманы минимумдау қажет X₁ + 2X₂ ³ 3, X₁ + 2X₂ £ 6, X₁ – X₂ ³ 0, X₁,₂ ³ 0.

№ 11 Берілген шектеулерде L(x)=X₁ + 2X₂ ³ 4 сызықтық форманы минимумдау қажет 2X₁ + X₂ ³ 4, X₁ – X₂ ³ –4, X₁ + X₂ £ 6, X₁ £ 4, X₁,₂ ³ 0.

№ 12 Берілген шектеулерде L(x)=X₁ + X₂ £ 6 сызықтық форманы минимумдау қажет X₁ – 2X₂ £ 0, 1 £ X₁ £ 3, X₂ ³ 0.

№ 13 Берілген шектеулерде L(x)=3X₁ – 2X₂ £ 12сызықтық форманы минимумдау қажет –X₁ + 2X₂ £ 8, 2X₁ + 3X₂ ³ 6, X₁,₂ ³ 0.

№14 Берілген шектеулерде L(x)=7X₁ + 2X₂ ³ 14сызықтық форманы минимумдау қажет 5X₁ + 6X₂ £ 30, 3X₁ + 8X₂ ³ 24, X₁,₂ ³ 0.

 

Практикалық жұмыс №8

«Жазықтықтағы және кеңістіктегі түзу теңдеуінің түрлері»

Жұмыс мақсаты:

1.Жазықтықта берілген түзулердің түрлерімен таныстыру.

2.Нақты мысалдарда түзу теңдеулерін құра білуге үйрету.

Жұмыс мазмұны:

1.Берілген нүктеден өтетін және бұрыштық коэффициенті берілген түзудің теңдеуі:

Түзу нүктесінен өтсін делік және k бұрыштық коэффициенті берілсін:

нүктесі арқылы өтетін және векторына бағыттаушы түзудің параметрлік теңдеуі:

немесе

Канондық теңдеуі:

1 мысал. нүктесінен өтетін және векторына параллель түзудің канондық және параметрлік теңдеуін құру керек.

Канондық теңдеуі:

Параметрлік теңдеуі:

2.Екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуі. екі нүкте:

3.Кеңістікте екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуі:

2 мысал. және нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін құрыңдар және k мен в-ны табыңдар.

3 мысал. М₁(3;-5;-6) және М₂(1;2;-1) нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін құрыңдар.

4.Түзудің кесінділік теңдеуі:

4 мысал.

5.Түзудің жалпы теңдеуі және оны зерттеу.

мұндағы А мен В айнымалылардың коэффициенттері.

1. Егер бос мүше С=0, онда теңдеу мына түрге келеді. Ах+Ву=0. х=0, у=0 сандары түзу теңдеуді қанағаттандырады, ендеше түзу бас нүкте арқылы өтеді.

2. Егер х-тің коэффициенттері А=0 болса, онда теңдеу Ву+С=0 немесе түріне келеді, онда ол Ох осіне параллель түзу болады.

3. у-тің коэффициенттері В=0 болса, онда түзу Ах+С=0 түріне келеді, ал бұл жағдайда түзу Оу осіне параллель болады.

4. Егер А=С=0 болса, онда Ву=0 (у=0) түзуі Ох осімен беттеседі.

5. Егер В=С=0 болса, онда Ах=0 (х=0) түзуі Оу осімен беттеседі.

6.Екі түзудің өзара орналасуы:

Екі түзудің жалпы теңдеуі:

1. Коэффициенттері пропорционал болмаса түзулер қиылысады.

.

2. Екі түзудің параллельдік белгісі.

3. Түзулердің беттесу шарты

5 мысалдар.

1) Екі түзудің теңдеуі берілсін.

түзулер қиылысады.

2) Екі түзудің теңдеуі берілсін.

түзулер параллель.

3) Екі түзудің теңдеуі берілсін.

түзулер беттеседі.

Өзіндік жұмыс тапсырмалары

І. Берілген: АВС үшбұрыш.

Табу керек: а) үшбұрыштың бұрыштарын

б) АС қабырғасының теңдеуін

в) В төбесінен жүргізілген биіктік пен медиананың теңдеуін.

г) сызбасын салу.

1 А(0,1); В(3,3); С(4,-1).

2 А(-2,1); В(3,4); С(4,-3).

3 А(0,3); В(4,0); С(-1,-2).

4 А(5,1); В(2,-4); С(-1,3).

5 А(-1,-2); В(1,3); С(4,-1).

6 А(-2,3); В(4,1); С(5,-3).

7 А(-3,1); В(1,6); С(2,-4).

8 А(-1,-4); В(0,2); С(3,-1).

9 А(3,4); В(-1,1); С(1,-2).

10 А(2,-4); В(4,1); С(0,2).

11 А(-2,-3); В(-1,4); С(1,2).

12 А(-1,-2); В(0,2); С(2,-2).

13 А(1,-2); В(1,3); С(5,-2).

14 А(0,5); В(7,0); С(-1,-2).

15 А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

16 А(0,3); В(1,-3); С(5,0).

17 А(-2,-4); В(-1,2); С(2,-1).

18 А(0,-1); В(2,2); С(-4,0).

19 А(3,1); В(-1,2); С(5,4).

20 А(-2,-3); В(1,1); С(3,-1).