Плоскопараллельное движение твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным (плоским), если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Для изучения движения всего тела вполне достаточно изучить движение плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью (Q), параллельной неподвижной плоскости (Оху), относительно которой движение тела определено как плоское (рис. 2.23).

 

 

Рис. 2.23 Рис. 2.24

Положение этой плоской фигуры будет вполне определено координатами некоторой точки тела (например, точки А), обычно называемой полюсом (х_A, y_A), относительно неподвижной системы координат Оху, и углом поворота (φ) некоторой подвижной системы координат Aх₁y₁, связанной с фигурой, относительно осей системы координат Ах₂y₂, перемещающейся поступательно вместе с фигурой (рис. 2.24). При движении тела величины х_A, y_A, φ будут изменяться с течением времени. Равенства

^ха=^ха(t); y_A,= y_A, (t), φ = φ(t)

называются уравнениями или законом плоского движения твердого тела. Доказано, что при смене полюса уравнения x_A=x_A(t); y_A,=y_A,(t) изменяются, а уравнение φ = φ(t) не изменяется.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно рассматривать как совокупность его поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения относительно этого полюса.

В основу всех методов определения скоростей точек тела, совершающего плоское движение, положена теорема о скоростях точек тела при плоском движении, согласно которой скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры относительно полюса:

_B= _{A+ AB}, (2.41)

где _B – скорость точки В; _A – скорость полюса – точки A; _AB – скорость точки В во вращательном движении фигуры относительно полюса А.

Так, если для некоторой фигуры (рис. 2.25) известны скорость точки А и угловая скорость фигуры ω, то скорость точки В может быть определена сложением векторов _A и _AB по правилу параллелограмма. При этом вектор _AB по модулю равен:

V_AB =ω·AB (2.42)

и направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону вращения тела.

Рис. 2.25

Однако в задачах кинематики угловая скорость известна редко. Поэтому для определения скоростей точек обычно используют следствия из теоремы о сложении скоростей.

Следствие 1. (Теорема о проекциях). При плоском движении твердого тела проекции векторов скоростей точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

Так, для тела, изображенного на рис.2.26:

V_Ax = V_Bx (2.43)

где V_Ax , V_Bx – соответственно проекции векторов _А и _B на ось A_x.

 

 

Рис. 2.26

Существенным недостатком этого метода является то, что с его помощью можно определять только модули векторов скоростей, направление которых известно.

Следствие 2. (Метод мгновенного центра скоростей). Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка, неотъемлемо связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный, момент времени равна нулю.

Доказано, что для любой плоской фигуры, если ее угловая скорость отлична от нуля, можно указать точку, относительно которой движение фигуры в данный момент времени можно рассматривать как вращательное, и этой точкой является МЦС. Поэтому вектор скорости любой точки плоской фигуры будет направлен перпендикулярно к отрезку, соединяющему точку и МЦС (рис. 2.27,а), и равен по модулю

V = ω ·R, (2.44)

где V - модуль скорости данной точки, ω -модуль угловой фигуры;

R - кратчайшее расстояние от точки до МЦС.

На рис. 2.27 и в дальнейшем МЦС будем обозначать буквой Р.

В зависимости от направления и модулей векторов скоростей точек плоской фигуры определять положение МЦС необходимо по-разному.

Если известны направления векторов скоростей двух точек фигуры и эти векторы не параллельны, то МЦС лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к векторам скоростей из этих точек
(рис. 2.27,а).

Если векторы скоростей двух точек плоской фигуры параллельны и отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен к векторам скоростей, то МЦС лежит на пересечении отрезков, соединяющих начала и концы векторов скоростей этих точек (рис. 2,27,б,в).

Если векторы скоростей двух точек плоской фигуры параллельны, но отрезок, соединяющий эти точки, не перпендикулярен к векторам скоростей, то МЦС не существует, фигура движется в данный момент времени поступательно, ее угловая скорость равна нулю (рис. 2.27,г).

Если плоская фигура без скольжения катится по некоторой неподвижной линии, то МЦС находится в точке контакта фигуры и линии (рис. 2.27д).

После того как положение МЦС определено и, если известен модуль скорости хотя бы одной точки фигуры, может быть, исходя из выражения (2.44), определен модуль угловой скорости фигуры:

ω = V/R. (2.45)

Так, для фигур, изображенных на рис. 2.27 , будет справедлива формула:

где АР и ВР – соответственно кратчайшие расстояния от МЦС до точек А и В.

 

Рис. 2.27

Из выражения (2.44) следует, что модули скоростей точек плоских фигур прямо пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до МЦС. Поэтому для фигур, изображенных на рис. 2.27, будет справедливо отношение:

(2.46)

Неизвестный модуль скорости любой точки плоской фигуры после определения МЦС и угловой скорости может быть определен по формуле (2.44). Так, если для фигур, изображенных на рис. 2.27, модуль скорости точки В неизвестен, эта формула приобретает вид:

V_B= ω · BP.

Можно также определить модуль скорости плоской фигуры без определения угловой скорости, воспользовавшись отношением (2.46).

Для определения направления вектора скорости любой точки плоской фигуры необходимо соединить эту точку и МЦС отрезком прямой. Вектор скорости точки будет перпендикулярен этому отрезку и направлен в сторону вращения фигуры относительно МЦС.

Для определения ускорений точек плоской фигуры используется теорема об ускорениях точек при плоском движении тела, согласно которой ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки во вращательном движении фигуры относительно полюса. Или в математической форме записи для тела, изображенного на рис. 2.28,

_B = _A + _AB (2.47)

где _A – ускорение полюса (точки A); _B – ускорение точки В; _AB –ускорение точки В во вращательном движении фигуры относительно точки А.

 

Рис. 2.28 Рис. 2.29

 

Так как ускорение точки при вращательном движении фигуры складывается из двух составляющих - касательной и нормальной, то выражение (2.47) можно записать в виде:

_B = _{A +} ^τ_{AB +} ⁿ_AB. (2.48)

Модули этих составляющих будут равны:

W_AB ^τ , ,

где ε, ω – соответственно модули углового ускорения и угловой скорости исследуемой фигуры.

Касательная составляющая будет направлена перпендикулярно отрезку АВ, нормальная составляющая будет направлена по отрезку АВ от точки В к точке А (рис. 2.28).

Заметим, что в тех случаях, когда полюс перемещается по криволинейной траектории, его ускорение удобно представлять как сумму двух составляющих – касательной и нормальной. В этом случае уравнение (2.47) приобретает вид

_B = (2.49)

Многоугольник векторов, соответствующий одной из форм векторного уравнения (2.47), называется планом ускорений. Так, если векторы, входящие в правую часть уравнения (2.48), по модулю и направлению соответствуют рис. 2.28, план ускорений примет вид, изображенный на рис. 2.29. Определить неизвестное ускорение из плана ускорений можно известными методами геометрии. Однако, обычно удобнее для решения уравнения (2.47) использовать метод проекций. Для этого уравнение (2.47) проецируется на две взаимно перпендикулярные оси. Так как модуль углового ускорения ε, необходимый для расчета модуля касательной составляющей ускорения точки В во вращательном

движении относительно точки A ( )часто неизвестен, то одну из осей системы координат удобно выбирать совпадающей по направлению с отрезком, соединяющим полюс с точкой, ускорение которой определяется (рис. 2.28). Проекция вектора на эту ось равна нулю, и при решении задачи можно обойтись без знания ε.

Вообще следует иметь в виду, что векторное уравнение (2.47) может быть решено только в том случае, если содержит не более двух неизвестных. Напомним, что каждый вектор, входящий в уравнение (2.47), определен, если он известен по модулю и направлению. Поэтому неизвестной величиной может быть как модуль вектора, так и угол, определяющий его направление в пространстве.

Суммируя все ранее сказанное в разделе 2.3, можно заключить, что для определения скорости некоторой точки плоской фигуры достаточно знать модуль скорости одной из точек фигуры и направление векторов скоростей двух точек фигуры, или знать модуль и направление вектора скорости одной точки фигуры и ее угловую скорость. Если плоская фигура без скольжения катится по некоторой неподвижной линии, для определения модуля скорости любой ее точки достаточно знать модуль вектора скорости любой другой точки, не совпадающей с точкой контакта с линией.

Для определения ускорения некоторой точки плоской фигуры достаточно знать или ускорение одной из ее точек по модулю и направлению, угловую скорость и угловое ускорение фигуры; или знать ускорение одной из точек фигуры по модулю и направлению, направление ускорения еще одной фигуры и угловую скорость фигуры.

При решении задач, как правило, приходится иметь дело не с отдельным телом, совершающим то или иное движение, а с механизмом, состоящим из нескольких тел, движение каждого из которых можно отнести к своему виду. Поэтому предварительно необходимо, во-первых, классифицировать движение всех тел (звеньев), из которых состоит механизм; во-вторых, выделить ведущее звено механизма, приводящее в движение остальные звенья; в-третьих, используя то обстоятельство, что, как правило, движение от звена к звену передается через общую для контактирующих звеньев точку (тела соединяются с помощью шарнира), скорость и ускорение в которой равны для обоих контактирующих звеньев, определить скорость и ускорение точки контакта звена, совершающего плоское движение; в-четвертых, исходя из конструкции механизма, постараться определить хотя бы направление векторов скорости и ускорения еще одной точки звена, совершающего плоское движение.

После завершения подготовительных операций последовательность действий по определению скоростей и ускорений точек тел, совершающих плоское движение, удобно выполнять в следующей последовательности:

а) нанести на чертеж соответствующую телу плоскую фигуру;

б) нанести на чертеж все векторы скоростей и ускорений фигуры,
направление которых известно;

в) определить положение МЦС;

г) определить угловую скорость фигуры по формуле (2.45);

д) определить неизвестные скорости точек фигуры по формуле (2.44)
или (2.46);

е) выбрать в качестве полюса одну из точек фигуры, ускорение
которой уже определено по модулю и направлению;

ж) записать уравнение теоремы об ускорении точек тела при
плоском движении в зависимости от траектории движения полюса (2.48)
или (2.49);

з) подсчитать модуль нормальной составляющей ускорения точки во
вращательном движении фигуры относительно полюса и по возможности
(если известно угловое ускорение фигуры) подсчитать модуль касательной
составляющей этого ускорения;

и) нанести на чертеж векторы составляющих ускорения точки во вращательном движении фигуры относительно полюса;

к) ввести декартову систему координат таким образом, чтобы одна из осей проходила через полюс и точку, ускорение которой определяется;

л) спроецировать уравнение теоремы об ускорениях точек тела при плоском движении на оси системы координат и из двух полученных скалярных уравнений определить неизвестные величины.

Пример 2.6.Механизм состоит из двух ползунов 1 и 2, скользящих по взаимно перпендикулярным направляющим, они соединены шатуном АВ (рис. 2.30). Скорость и ускорение ползуна 1 известны по модулю и равны соответственно 10 м/с и 8 м/с². Считая, что ползун 1 движется равноускоренно в сторону, противоположную точке пересечения направляющих – О, найти для положения механизма, указанного
на рис. 2.30, скорость и ускорение ползуна 2 и точки С шатуна АВ, если АС=СВ; АВ=1 м.

Рис. 2.30

В исследуемом механизме ползуны 1 и 2 совершают прямолинейное поступательное движение. Поэтому скорости и ускорения всех точек каждого из ползунов, включая точки крепления шатуна А и В, равны. При этом точки крепления ползунов и шатуна А и В перемещаются по прямолинейным траекториям, совпадающим с направляющими ползунов. Поэтому векторы скоростей и ускорений всех точек каждого из этих ползунов будут направлены параллельно направляющим и равны по модулю, а векторы скоростей и ускорений точек крепления А и В будут направлены по направляющим ползунов.

Шатун АВ совершает плоское движение. Точки крепления А и В общие для ползунов и шатуна. Следовательно, векторы скоростей и ускорений точек А и В шатуна будут геометрически равны векторам скоростей и ускорений точек А и В ползунов. Сторону, в которую будут направлены векторы скоростей и ускорений точек А и В, выберем, исходя из условия задачи и конструкции механизма (рис. 2.31). Относительно направления векторов скорости и ускорения точки С шатуна, исходя из конструкции механизма, ничего сказать нельзя.

 

Рис. 2.31

Для определения модуля скорости точки В сначала воспользуемся теоремой о проекциях. Через точки А и В проведем ось Ах (рис. 2.31) и спроецируем на нее векторы скоростей точек А и В, получим:

 

V_A cos60° = V_B cos30°,

откуда найдем

 

Как видно из примера, применение теоремы о проекциях позволяет легко определять модули векторов скоростей точек, направление векторов скоростей которых известно. Но определить модуль вектора скорости точки С этим методом невозможно, так как направление ее вектора скорости нам пока неизвестно.

Рис. 2.32

Далее для определения скоростей будем использовать метод МЦС. Восстановив из точек А и В перпендикуляры к векторам _A и _B, определим положение МЦС (точка Р) (рис. 2.32). Соединим точки Р и С отрезком. В точке С перпендикулярно PC изобразим вектор скорости точки C- _C. Угловая скорость шатуна АВ будет равна

1/с.

 

Модуль скорости точки В найдем из отношения (2.46)

 

Аналогично для точки С

 

или, используя выражение (2.44)

 

V_B = ω_AB· PB = ω_{AB ·} AB sin30°= 5,77 м/с

 

V_C= ω_AB· PC = ω_{AB ·} AB _·0,5= 5,77 м/с

 

Так как ускорение точки А известно по модулю и направлению, выберем ее за полюс.

Уравнение теоремы об ускорении точек тела при плоском движении с учетом того, что траектория движения точки А прямолинейная, для точки В примет вид (2.48):

_B= _A+ + _AB^τ (2.50)

Найдем модуль нормальной составляющей ускорения точки В во вращательном движении тела относительно точки А:

Модуль касательной составляющей этого ускорения мы пока найти не можем, так как нам неизвестен модуль углового ускорения шатуна АВ – ε_AB.

 

Рис. 2.33

Нанесем векторы и _AB^τ на чертеж механизма в точке В так, чтобы вектор был направлен от точки В к точке А, а вектор _AB^τ перпендикулярно отрезку АВ в произвольном направлении (рис. 2.33).

Введем систему координат Аху. Ось Ах проведем из точки А через точку В. Ось Ау проведем перпендикулярно оси Ах (рис. 2.33). Спроецировав уравнение (2.50) на оси системы координат Аху, получим

два скалярных уравнения:

- W_B cos 30 ° = -W_A cos 60 ° - ; (2.51)

- W_B sin 30° = W_A sin 60° + _AB^τ. (2.52)

Из уравнения (2.51) найдем:

W_B = (W_A cos60° + )/cos30° =158,39 м/с².

 

Подставив W_B в уравнение (2.52), определим модуль касательной составляющей ускорения:

_AB^τ = - W_A sin 60° - W_B sin 30° = - 86,12 м/с².

 

Но модуль вектора не может быть отрицательным, следовательно, на рис. 2.33 вектор должен быть направлен в противоположную сторону

(изображен пунктиром). После этого можем подсчитать модуль углового ускорения шатуна АВ:

ε_ab = /ab = 86,12 1м/с².

 

Для определения ускорения точки С запишем уравнение теоремы об ускорении точек тела при плоском движении для точки С:

 

_C = _A + + _AC^τ (2.53)

Найдем модули нормальной и касательной составляющих ускорения точки С во вращательном движении тела относительно точки А:

= ω²_ab/ac = 66,59 м/с²; _AC^τ = ε _ab · АС =43,06 м/с².

 

Нанесем векторы и _AC^τ на чертеж механизма (рис. 2.33), при выборе направления вектора _AC^τ учтем ошибку, сделанную при выборе направления вектора _AB^τ и направим его в противоположную сторону

вектору _AB^τ. Спроецировав векторное уравнение (2.53) на оси системы координат Аху, получим

W_Cx = - W_A cos60° - = - 70,59 м/с²,

W_Cy = W_A sin60° + _AC^τ = 43,98 м/с².

где W_Cx, W_Cy – проекции вектора ускорения точки С на оси системы координат Аху.

Модуль ускорения точки С будет равен:

м/с².

Пример 2.7. Для плоского механизма, изображенного на рис. 2.34, определить скорость и ускорение точек С и D, если кривошип ОА вращается равноускоренно с угловой скоростью ω_о= 41/с и угловым ускорением ε₀=2 1/с², ОА=0,5 м, R=0,25 м; колесо катится без скольжения по плоской поверхности, параллельной ОВ.

 

 

Рис. 2.34

В исследуемом механизме кривошип ОА совершает вращательное движение, шатун АВ - плоское движение и колесо - плоское движение.

В соответствии с видом движения кривошипа ОА, вектор скорости точки А ( _A) направим перпендикулярно ОА в сторону вращения тела, вектор нормальной составляющей ускорения точки A ( ) по отрезку ОА к точке О, вектор касательной составляющей ускорения точки A ( ) - по одной прямой с вектором _A (рис. 2.35).

Модули векторов скорости и составляющих ускорения точки А будут соответственно равны

 

V_A = ω_оОА = 2 м/с; = ω²_оOA = 8 м/с²; _A^τ = ε₀OA = 1 м/с².

 

Колесо катится по плоской поверхности, следовательно, его центр (точка В) будет перемещаться по прямолинейной траектории, параллельной этой поверхности. Соответственно, векторы скорости точки В ( _B) и ускорения точки В ( _B) будут направлены по этой прямой. Ориентацию векторов _B и _B на этой прямой выберем, исходя из направления векторов скорости и касательной составляющей ускорения точки А и конструкции механизма (рис. 2.35).

 

 

Рис. 2.35

Точка А общая для кривошипа и шатуна, точка В общая для колеса и шатуна. Следовательно, направление и модули векторов скоростей и ускорений точек А и В, найденные, исходя из характера движения кривошипа и колеса, совпадают с соответствующими параметрами векторов скоростей и ускорений точек А, В шатуна и наоборот.

Определим угловую скорость шатуна и скорость точки В, воспользовавшись методом МЦС. Для этого из точек А и В восстановим перпендикуляры к векторам скоростей _A и _B. Точка пересечения перпендикуляров (Р_AB) и будет являться МЦС шатуна АВ (рис. 2.35).

Модуль угловой скорости шатуна будет равен

 

Модуль скорости точки В будет равен:

МЦС колеса будет лежать в точке его контакта с поверхностью (точка P_k). Угловая скорость колеса по модулю будет равна:

 

ω_k = V_B/ BP_k = V_B/ R = 9,24 1/c

 

Векторы скоростей точек С и D будут направлены перпендикулярно отрезкам СР_к и DP_k (рис. 2.35) и равны по модулю:

V_C =ω_kCP_k = ω_k2R= 4,62м/с; V_D=ω_kDP_k = ω_k = 3,27м/с.

 

Для определения ускорения точки В за полюс выберем точку А. Так как траектория движения точки А криволинейная, уравнение теоремы об ускорении точек тела при плоском движении примет вид (2.49):

_B= + _A^τ + + _AB^τ (2.54)

 

Модуль вектора будет равен

= ω_AB ⁿAB = ω_AB ²OA·tg60° = 1,53 м/с².

Определить модуль вектора мы пока не можем, так как нам не известно угловое ускорение шатуна.

Нанесем векторы _{, AB}^τ на чертеж механизма в точке В так, чтобы вектор был направлен от точки В к точке А, а вектор _AB^τ перпендикулярно отрезку АВ в произвольном направлении (рис. 2.35).

Введем декартову систему координат Аху. Ось Ах проведем из точки А через точку В, ось Ау – перпендикулярно Ах.

Спроецировав уравнение (2.54) на ось Ах, получим

 

- W_B cos30° = - - ,

откуда найдем

Для определения ускорений точек С и D соответственно _C и _D за полюс выберем точку В и запишем для этих точек уравнения теоремы об ускорениях точек тела при плоском движении в форме (2.48), так как траектория движения точки В - прямая линия, получим:

 

_C = _B+ + _BC^τ; (2.55)

_D = _B+ + _BD^τ, (2.56)

 

где , _BC^τ – соответственно нормальная и касательная составляющие ускорения точки С во вращательном движении колеса относительно точки В; , _BD^τ – соответственно нормальная и касательная составляющие ускорения точки D во вращательном движении колеса относительно точки В.

Векторы , будут направлены соответственно из точек С и D к точке В. Векторы _BC^τ, _BD^τ будут направлены перпендикулярно соответственно векторам , в сторону вращения колеса, так как оно движется ускоренно.

Модули векторов , будут равны

 

= ω_k² BC = ω_k² R = 21,34 м/с²;

= ω_k² BD = ω_k² R = 21,34 м/с².

 

Модуль углового ускорения колеса определим из следующих рассуждений. Расстояние от центра колеса В до МЦС при движении не

меняется, а поэтому:

 

1/с²

 

Используя ε_k , найдем модули векторов , :

_BC^τ = ε_kBC = ε_kR = 2,92 м/ с²;

_BD^τ = ε_kBD = ε_kR = 2,92 м/с².

 

Введем декартову систему координат Bх₁y₁ направив ось Bх₁параллельно плоскости, по которой катится колесо, а ось By₁перпендикулярно ей вверх (рис. 2.35).

Спроецируем векторные уравнения (2.55), (2.56) на оси системы координат Bх₁y₁, получим

 

W_Cx =W_{B+ BC}^τ =5,84 м/с²; W_Cy = - =-21,34 м/с²;

W_Dx =W_B + =24,26 м/с²; W_Dy = _BD^τ =2,92 м/с²,

 

где W_Cx, W_Cy, W_Dx, W_Dy – проекции векторов _{C, D} на оси системы координат Bх₁y₁.

 

Модули ускорений точек С и D будут равны:

 

м/с²;

м/с².