Равновесие тел при наличии трения

Трением называется сопротивление, возникающее при стремлении двигать одно тело по поверхности другого.

В зависимости от характера перемещения ( от того, скользит тело или катится) различаются два типа трения: трение скольжения и трение качения.

Если два тела I и II (рис. 1.48) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию _A , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно разложить на две составляющие: _A , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и _A, лежащую в касательной плоскости. Составляющая _A называется нормальной реакцией, сила _A называется силой трения скольжения – она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксиомой 6 (третьим законом И. Ньютона) на тело II со стороны тела I действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было отмечено ранее, сила трения _A равна нулю, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты, и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

 

 

Рис. 1.48

 

Многочисленные исследования показали, что если тело находится в покое, сила трения определяется только величиной и направлением активных сил, приложенных к этому телу. Но сила трения не может превышать некоторой фиксированной величины, которая совпадает с предельной силой трения. То есть, если тело находится в равновесии, то

T≤ T_max (1.61)

Максимальная величина силы трения T_max зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от нормального давления . Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению:

T_max = f ·N. (1.62)

Это соотношение носит название закона Амонтона-Кулона.

Безразмерный коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его значение в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициента трения устанавливаются опытным путем, и их можно найти в справочных таблицах.

Таким образом, неравенство (1.61) можно записать в виде

T≤f ·N. (1.63)

 

Случай строгого равенства в(1.63) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле

 

T=f ·N. (1.64)

 

только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Угол φ между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения (рис. 1.49,а).

 

Рис. 1.49

Несложно показать, что

tg φ = f. (1.65)

Поэтому вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность конус трения (рис. 1.49,б). Если коэффициент трения f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым.

Несложно показать, что если равнодействующая активных сил будет находиться внутри конуса трения, то тело будет находиться в равновесии, причем увеличением модуля равнодействующей в этом случае нельзя нарушить равновесие тела. Для того, чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил Fнаходилась вне конуса трения.

Если исследуемое тело не скользит, а катится по некоторой поверхности (рис. 1.50), то сопротивление движению удобно представлять в виде пары сил с моментом:

М_Т=δN. (1.66)

Этот момент называется моментом трения качения. Величина δ называется коэффициентом трения качения, она имеет размерность длины. Экспериментально установлено, что величина δ пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

 

Рис. 1.50

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра:

λ = δ/R,

для различных материалов.

Если активные силы, приложенные к телу, недостаточны, чтобы заставить его катиться, то есть имеет место равновесие, то момент трения качения будет определяться выражением:

М_Т ≤ δN. (1.67)

Величину М_Т в этом случае следует определять из уравнений равновесия.

При решении задач на трение качения необходимо учитывать, что чистое качение возможно только при отсутствии проскальзывания между поверхностями тел. Это происходит, если сила трения между телами строго меньше максимальной силы трения, то есть:

T<f ·N. (1.68)

Из вышесказанного следует, что при решении задач на равновесие тел с учетом трения необходимо к обычным уравнениям равновесия, составляемым в соответствии с типом исследуемой системы сил, добавить неравенства (1.63) или (1.67). Если речь идет о предельных режимах, то уравнения равновесия дополняются равенствами (1.62) или (1.66). Кроме того, если тело может перемещаться как с качением, так и со скольжением, необходимо исследовать выполнение обоих этих неравенств. Если при каком-то значении параметров исследуемой системы нестрогое неравенство (1.63) превратится в равенство, а неравенство (1.67) становится строгим неравенством, то есть они примут вид

T = f ·N; M_T < δ · N,

то потеря равновесия происходит за счет скольжения. Если же при каком-то сочетании параметров неравенство (1.67) превратится в равенство, а нестрогое неравенство (1.63) станет строгим неравенством, то есть они примут вид

T<f ·N; M_T = δ ·N,

то потеря равновесия произойдет за счет качения.

 

Пример 1.14. Стержень АВ весом Р, длиной l опирается на идеально гладкую стенку ОВ и шероховатый пол ОА (рис. 1.51,а). Определить, при каких углах наклона стержня возможно ее равновесие, если коэффициент трения стержня и пола равен f [1].

 

Рис. 1.51

Активной силой в данной задаче является сила тяжести тела . Так как стена идеально гладкая, то сила реакции в точке В будет иметь одну составляющую _B, направленную перпендикулярно плоскости стены. Пол шероховатый, поэтому сила реакции связи в точке А будет иметь две составляющие: нормальную _A и касательную (силу трения) _А (рис. 1.51,б).

Введем систему координат, как показано на рис. 1.50,б, и составим уравнения равновесия:

∑F_ix=N_B – T_A = 0; ∑F_iy=N_A – P = 0; (1.69)

∑M_A= P cos – N_B lsin = 0.

Дополним уравнения равновесия неравенством (1.63), которое в данном случае примет вид

T_A ≤ f ·N_A (1.70)

 

Решая уравнения (1.69), найдем

N_B=T_A= ctg ; N_A=P. (1.71)

Подставляя (1.71) в (1.70), получим

tg ≥ (1.72)

Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение угла ^* определяется из уравнения:

tg ^*≥ .

Пример 1.15.Определить критическое значение угла ^* в условиях примера 1.14 в предположении, что стенка также шероховатая и коэффициент трения стержня о стенку также равен f [1]. В этом случае реакция связи в точке В также будет иметь две составляющие: касательную _B и нормальную _B (рис. 1.52).

Рис. 1.52

Введем систему координат, как показано на рис. 1.52, и составим условия равновесия:

∑F_ix=N_B – T_A = 0; ∑F_iy=N_A – P + T_B = 0;

(1.73)

∑M_A (F_i) = P cos * – N_BI sin * – T_BI cos * = 0.

В критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям. Для критического состояния будем иметь два уравнения для сил трения в точках А и В:

 

T_A=f ·N_A; T_B=f·N_B. (1.74)

 

Решая совместно уравнения (1.73) и (1.74), найдем

 

(1.75)

 

Подчеркнем, что решения (1.75) относятся только к критическому состоянию, но если

T_A<f ·N_A; T_B<f ·N_B,

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Пример 1.16. На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол = 30° с горизонтальной плоскостью, находится тело весом Р = 20 Н (рис. 1.53,а). Тело удерживается на плоскости тросом АВ, весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса при двух значениях коэффициента трения f₁=0,8 и f₂ =0,2 [1].

Рис. 1.53

На тело действуют четыре силы: активная сила – сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса (рис. 1.53,6). Введем систему координат и составим условия равновесия тела

∑F_ix= Psin – T - S = 0; ∑F_iy=N – Pcos = 0;

(1.76)

T ≤f ·N.

Отсюда найдем

S = Psin – T; N = Pcos ; T ≤ f · Pcos ,

 

Или, учитывая условия задачи,

S = 10-T; T ≤17,3·f.

Для первого случая f₁ =0,8, поэтому будем иметь T≤ 13,8Н. При отсутствии троса (S= 0) получим T=10Н. Так как при этом условие Г<13,8Н не нарушается, то это означает, что при f₁=0,8 тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения Т=10 Н.

Пусть теперь f₂ = 0,2. Тогда должно выполняться условие T≤17,3 · f₂=3,46Н. При отсутствии троса (S = 0) это неравенство находится в противоречии с первым уравнением 10-T = 0. Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при f₂ = 0,2 сила трения достигает своего максимального значения, равного Т = 3,46 Н, а натяжение троса будет S =10-7 = 6,54 Н.

Итак, при f₁=0,8: T =10Н, S =0;

при f₂ =0,2: T = 3,46Н, S =6,54Н.

Пример 1.17.На наклонной плоскости находится цилиндр (рис. 1.54). Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если R – радиус цилиндра, f –коэффициент трения скольжения, δ – коэффициент трения качения, Р – вес цилиндра [1].

Рис. 1.54

 

На цилиндр действуют: активная сила тяжести , нормальная сила реакции в точке контакта , касательная составляющая реакции в точке контакта (сила трения), пара сил с моментом трения качения M_T (рис. 1.54).

Введем систему координат, как показано на рис. 1.54, и составим уравнения равновесия:

 

∑F_ix=-T + Psin = 0;

∑F_iy = N-Pcos =0; (1.77)

∑M_A( )=M_T -P·Rsin = 0.

Кроме того, должны выполняться неравенства

 

T≤ f ·N; (1.78)

M_T ≤ δN. (1.79)

Из первых уравнений мы можем определить N, T, M_T; подставив эти величины в последние два неравенства, получим:

 

tg ≤ f ;

tg ≤ δ/R.

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда < f, потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как при увеличении угла сначала нарушится неравенство (1.79), если же f < , то нарушится неравенство (1.78) и цилиндр начнет скользить.