Затухающие колебания

Затуханием называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. При механических колебаниях причиной затухания является действие сил трения и излучение энергии колебаний в окружающую среду в виде упругих волн. Свободные колебания всех реальных колебательных систем являются затухающими.

Рассмотрим затухающие колебания линейной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в линейной системе:

 

(1.8)

 

где ω – циклическая частота незатухающих собственных колебаний системы, δ (с^-1) – коэффициент затухания.

Решение уравнения (1.8) имеет вид:

 

 

Здесь - амплитуда затухающих колебаний, - циклическая частота затухающих колебаний.

В экспоненциальной форме уравнение затухающих колебаний записывается как:

 

.

 

График затухающих колебаний приведен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – График затухающих колебаний

 

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации:

 

Величина, равная

 

называется логарифмическим декрементом затухания.

Еще одна характеристика системы, совершающей затухающие колебания, - ее добротность, равная:

 

 

где E(t) – полная энергия системы в момент времени t. Чем выше добротность системы, тем медленнее происходит в ней процесс затухания колебаний. Можно показать, что:

 

 

При увеличении коэффициента затухания циклическая частота затухающих колебаний уменьшается, и при δ≥ω процесс затухания становится апериодическим: выведенная из положения равновесия колебательная система постепенно (без колебаний) возвращается в него (рис. 1.5).

Рисунок 1.5 – Апериодическое затухание