Задача 3. Расчет балки на изгиб
Для балки ( рис. 3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать номер двутавра. Проверить прочность выбранного двутавра по главным напряжениям, используя третью теорию прочности.
Исходные данные: F=60 кН; M=70 кНм; q=40 кН/м; а=1 м; b=3 м; с=2 м; [σ]=155 МПа. (меняем)
Рис. 3 -
Решение.
1. Определим реакции опор и , составив для этого уравнения равновесия:
;
;
2. Сделаем проверку:
Реакции найдены правильно.
3.Построение эпюр.
Для построения эпюр разобьём балку на три участка и составим уравнение для Q и М.
I участок:
При z=0
При z=a
II участок: .
При z=a
При z=a+b
III участок: .
.
При z1=0 .
При z1=с .
На этом участке график поперечной силы пересекает ось эпюры (рис. 3, б). Следовательно, в точке, где , изгибающий момент имеет экстремум. Найдём его. Из условия получаем:
Изгибающий момент при z1=0,85:
.
По этим данным строим эпюру поперечных сил (рис. 3, б) и изгибающих моментов (рис. 3, в).
3. Подберём сечение балки. Наибольший изгибающий момент (рисунок 3, в) равен 84,45 кН∙м. Необходимый момент сопротивления:
4.
По таблицам сортамента [1] ближайшими к этому значению являются Wх=518 cм3 (двутавр №30а) и Wх=597 cм3 (двутавр №33).
5. Проверим, годится ли двутавр №30а. Напряжения в нём будут равны:
Перенапряжение составляет:
что допустимо.
Таким образом, в соответствии с расчётом по нормальным напряжениям следует принять двутавр №30а. Однако в сечении над левой опорой балки действуют одновременно значительный изгибающий момент М=80 кН∙м и большая поперечная (перерезывающая) сила Q=100 кН (рис. 3). Поэтому в этом сечении надо сделать проверку по главным напряжениям.
6. Проверим условие прочности по третьей теории прочности. Из таблиц сортамента выпишем для двутавра №30а: Iх=7780 см4; h=300 мм; t=10,7 мм; d=6,5 мм.
Тогда в точке К сечения (рис. 4)
Рис. 4
.
Согласно третьей теории прочности должно выполняться условие:
.
В нашем случае:
.
7. Определим перенапряжение в точке К.
Перенапряжение составляет:
что недопустимо велико (более 5%).
Таким образом, надо использовать двутавр большего размера. Окончательно принимаем двутавр №33.