I. Признаки возрастания и убывания функции

Критерий возрастания и убывания функции: пусть - дифференцируемая на интервале функция. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Критерий возрастания и убывания функции удобно представляется в виде схемы:

f(x)ä
f(x) æ

Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Для нахождения промежутков монотонности функции используется следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции.

3. Определите критические точки первого рода (f'(x_o)=0 или f'(x_o) не существует).

4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов.

5. Выпишите интервалы монотонности.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Определим критические точки первого рода (у'=0): =0;

х₁=1 или х₂=5.

4. На числовой оси отметим критические точки х₁=1 и х₂=5. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞). Расставим знаки производной функции у' = на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;1) у'(0)=5>0;

при х=2 (1;5) у'(2)= =-3<0;

при х=6 (5;+∞) у'(6)= =5>0.

х

+

+

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].

Ответ: возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].

Пример 2. Найдите промежутки монотонности функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции по правилу производной произведения:

= =

3. Определим критические точки первого рода (у' =0): =0;

х₁=0 или 2+х=0 (е^х≠0 для всех х из множества R).

4. На числовой оси отметим критические точки х=-2 и х=0. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;-2), (-2;0); (0;+∞). Расставим знаки производной функции у'= на каждом из полученных интервалов:

-2

х

+

+

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при

х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0].

Ответ: возрастает при х (-∞;-2] [0;+∞), убывает при х [-2;0].

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.3, стр. 126 – 127.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 38-39, стр. 220-226.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 255– 265.