Формулы дифференцирования сложных функций

  1. (un)' = п∙un-1·u'
  2. ·u'
  3. ·u'
  4. (sin u)' = cos u·u'
  5. (cos u)' = -sin u·u'
  6. (tg u)' = ·u'
  7. (ctg u)' = - ·u'
  8. (eu)' = eu·u'
  9. (au)' = au lna·u'
  1. (ln u)' = ·u'
  2. (logau)' = ·u'
  3. (arcsin u)' = ·u'
  4. (arccos u)' =- ·u'
  5. (arctg u)' = ·u'
  6. (arcctg u)' =- ·u'

 

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример 5.Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= . Заменяя и через придем к производной вида:

= = .

Ответ: .

Пример 6. Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= = = .

Ответ: .

Пример 7. Найдите производную функции в точке .

Решение. Сначала продифференцируем данную функцию. Функция - сложная функция.Представим исходную функцию в виде степени: . Обозначим и придем к степенной функции вида . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: = = = =

= = . Итак, .

Затем в найденную производную вместо аргумента подставим . Получим: = = = .

Ответ: .

Пример 8. Найдите производную функции у=arcsinе2х .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к обратной тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: (arcsin u)' = ·u' = .

Однако, мы видим, что е2х тоже сложная функция. Обозначив и придя к показательной функции , найдем её производную по таблице производных сложных функций: (здесь мы применили краткую запись решения).

Получили, что = .

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.1, стр. 116 – 121.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 33, стр. 205-210; § 36, стр.211-217; § 44, стр.240-245.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §4, стр. 208– 228; §6, стр. 245– 247.