Интервальные оценки параметров распределения

Точечная оценка дает приближенное значение параметра, однако в ряде задач требуется более строгое решение, а именно, желательно знать, что ошибка полученной оценки не выйдет за определенные пределы. Это особенно важно при малом числе наблюдений.

Пусть для параметра получена несмещенная оценка . Зададим некоторую, достаточно большую вероятность (0.9, 0.95, 0.99) и найдем число из условия: или .

Это означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадет в интервал .

Замечание. Подчеркнем, что неизвестное значение параметра неслучайно, а интервал - случаен. То есть - вероятность того, что случайный интервал накроет неслучайное, неизвестное значение параметра .

Определение.Число называют доверительной вероятностью, - уровнем значимости, - доверительными границами, - доверительным интервалом .

Замечание. Часто применяют односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий или .

Замечание. Подчеркнем, что задача нахождения границ доверительного интервала для параметра достаточно сложна. Для построения этого интервала, необходимо знать закон распределения оценки (статистики ), который может зависеть и от неизвестного параметра , и от закона распределения случайной величины Х. В ряде случаев удается перейти от статистики к некоторой другой статистике, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины Х, числа опытов, но не зависит от неизвестных параметров.

Основные результаты математической статистики получены для распределения статистик, построенных по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности.

Пример. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины по результатам наблюдений с доверительной вероятностью .

Решение. Для того, чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания, используется статистика: ,

где - число элементов в выборке;

- неизвестный параметр – математическое ожидание случайной величины;

- несмещенная выборочная дисперсия;

- выборочное среднее.

Данная статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Замечание. Пусть задана случайная величина , для которой известна функция распределения . Квантилью порядка р, называется число , удовлетворяющее уравнению: . Это уравнение равносильно следующему: . Как правило, квантили часто используемых распределений приведены в таблицах.

Для нахождения доверительного интервала используем условие:

.

Решим неравенство: относительно ; получим:

.

Плотность распределения Стьюдента - четная функция, поэтому доверительный интервал выбирают симметричным: ; , здесь в качестве концов интервала используют квантили порядка и ( ) распределения Стьюдента с степенями свободы (эти квантили находим по приложению 2). Квантили этого распределения удовлетворяют условию: ; поэтому доверительный интервал для математического ожидания можно записать в виде:

.

Для того, чтобы найти доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины, используется статистика:

, которая имеет распределение (хи-квадрат) с степенями свободы. Доверительный интервал будем искать из условия:

.

Решим неравенство: относительно неизвестного значения , получим:

.

Плотность распределения случайной величины несимметричная функция ( принимает только положительные значения), поэтому доверительный интервал выбираем так, чтобы вероятность выхода случайной величины за пределы интервала слева и справа была одинакова: , т.е. концами интервала являются квантили порядка и распределения с степенями свободы (значения этих квантилей находим по приложению 3).

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

.