Теория вероятностей. Элементы математической статистики

Задание 1.

1. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:

А - шары одного цвета;

В – шары разных цветов?

2. В одном ящике 5 белых и 10 черных шаров, а в другом ящике 10 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

3. Студент знает 50 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что:

а) студент знает все 3 вопроса;

б) студент знает только 2 вопроса;

в) студент знает только 1 вопрос экзаменационного билета.

4. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 3 белых и 5 черных шаров. Из второй урны в первую переложили наудачу один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

5. В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из урны потеряли два шара. Найти вероятность того, что шар, вынутый после этого из урны, окажется белым.

6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней:

а) 3 дня окажутся дождливыми;

б) не менее 3 дней окажутся дождливыми.

7. В первой урне 3 белых и 2 черных шаров, а во второй урне 4 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу два шара, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

8. Найти вероятность того, что при 4 бросках игральной кости тройка выпадет:

а) три раза;

б) не более двух раз;

в) хотя бы раз.

9. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,7. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

10. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А – все пассажиры выйдут на пятом этаже;

В - все пассажиры выйдут одновременно (на одно и том же этаже);

С - все пассажиры выйдут на разных этажах.

Задание 2.

1. Считая, что вероятность рождения в любой день одна и та же, найти вероятность того, что из 500 студентов у двух день рождения придется на Новый год.

2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Какова вероятность того, что в 300 испытаниях событие появится ровно 75 раз?

3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Какова вероятность того, что в 200 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз?

4. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных « гербом» вверх, будет от 45 до 55?

5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

6. В первые классы школы должны быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

7. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

8. В страховой компании застраховано 1000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,05. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит 2000 рублей и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает 50000 рублей. Найти вероятность того, что страховая компания терпит убыток.

9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,6. Какова вероятность того, что в 1200 испытаниях событие появится не менее 1150?

10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,001. Телефонная станция обсуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

Задание 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти M(X), M(2X+5), D(X), D(3X-4).

x_i
p_i	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

x_i	-0.2		0.2	0.4	0.6
p_i	0,04	0,06	0,2	0,5	0,2

x_i	-2	-1
p_i	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

x_i
p_i	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

x_i
p_i	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

x_i
p_i	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

x_i
p_i	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1

x_i
p_i	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

x_i
p_i	0,02	0,09	0,26	0,33	0,3

10.

x_i
p_i	0,06	0,056	0,053	0,05	0,781

Задание 4. Для НСВ Х задана функция распределения F(x). Найти A, f(x), M(X), M(3X-2), D(X), D(2X+4), P(X<5), P(X>1), P(-1<X <3).

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 5. Для заданной выборки: а) построить полигон частот и гистограмму;

б) найти выборочную среднюю и дисперсию.

x_i
m_i

x_i
m_i

x_i
m_i

x_i
m_i

x_i
m_i

x_i	12,5		13,5		14,5		15.5
m_i

x_i
m_i

x_i
m_i

x_i
m_i

10.

x_i
m_i

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………………..3

Глава I. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ…….3

1. Уравнения математической физики…….……………………………..…4

2. Операционное исчисление………………………………………….……..5

3. Теория функций комплексной переменной…………………………….12

Глава II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ……………………………………………………………………..15

1. Случайные события……………………………………………………...16

2. Случайные величины…………………………………………………….29

3. Элементы математической статистики………………...………………34

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ………………………………………..37

Контрольная работа №9 …………………………………………………….37

Контрольная работа №10.………………………………………………….40