Решение.

Вероятность того, что

 

частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = |ψ(x)|²dx .

В первом случае искомая вероятность найдется интег­рированием в пределах от 0 до 0,01l:

. (3.13)

Знак модуля опущен, т.к. ψ – функция в данном случае не является комплексной.

Т.к. х изменяется в интервале 0 £ x £ 0,01 l и, следовательно, , справедливо приближенное равенство

.

С учетом этого выражения (3.13) примет вид

.

После интегрирования получим

.

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, т.к. квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Dl = 0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = |ψ(l/2)|²Dl,

или

.

x

U(x)

0

Пример 6.Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l = 10 cм,рис.3.2. Вычислить наименьшую разность двух соседних энергетических уровней электрона.

Решение.Воспользуемся свойствами волновой функции. Т.к. внутри потенциального ящика (при 0 £ x £ l) потенциальная энергия электрона U = 0, то его полная энергия есть кинетическая энергия T. Согласно закону сохранения энергии, при движении электрона T = const. Следовательно, и сохраняется импульс электрона . Учитывая два возможных направления электрона вдоль оси х, запишем проекции импульса на ось х: р_х1 = р; р_х2 = -р. Согласно соотношению де Бройля, двум, отличающимся лишь знаком проекциям р_х импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси х. В результате интерференции возникнут стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным, т.е. не зависящим от времени, распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда есть волновая функция ψ(x), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой х.

Т.к. потенциальный ящик бесконечно глубок (U = ∞ при x>0 и x>l ), электрон не может оказаться за его пределами. Поэтому ψ(x) = 0 при x>0 и x>l. Отсюда в силу свойства непрерывности волновой функции следует ψ(0)= 0, ψ(l) = 0,

Таким образом, амплитуда колебаний в стоячей волне де Бройля равна нулю в точках x = 0, x = l, т.е. здесь находятся узлы стоячей волны. Поскольку расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, то в потенциальном ящике могут лишь быть волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

l = nλ_n/2 (n = 1, 2, 3,…),

т.е. на ширине ящика должно укладываться число полуволн. Отсюда

λ_n = 2l/n. (3.14)

Из соотношения (3.14) делаем вывод, что в потенциальном ящике существуют уровни энергии частицы. Действительно полная энергия электрона в ящике равна

Подставив сюда значение λ из (3.14), получим

(n = 1, 2, 3,…). (3.15)

Т.к. отношение уровней энергии W₁:W₂ :W₃… = 1:4:9…, то наименьшая разность уровней

. (3.16)

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии. Для этого в правую часть формулы (3.16) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 7. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Dm и есть разность между суммой масс свободных нукло­нов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

Dm = Zm_p+(A-Z)m_n-m_я (3.17)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро) ; m_p, m_n, m_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m_а = m_я+Zm_e, откуда

m_я = m_а—Zm_e. (3.18)

Выразив в равенстве (3.17) массу ядра по формуле (3.18), получаем

Dm = Zm_p+(A—Z)m_n—m_a + Zm_e, или Dm = Z(m_p+m_e)+(A—Z)m_n—m_a.

Замечая, что m_р+m_е = m_H, где m_H – масса атома водорода, окончательно находим

Dm = Zm_H+(A—Z)m_n—m_a. (3.19)

Подставив в выражение (3.19) числовые значения масс, получим

Dm = [3^.1, 00783 + (7—3)^.1,00867—7^.0,1601] = 0,04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

E = c²Dm, (3.20)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть вы­ражен двояко:

с² = 9^.10¹⁶м²/с²,или с² = DE/Dm = 9^.10¹⁶Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистем­ными единицами, то с² = 931МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3.20) примет вид

E = 931Dm (МэВ). (3.21)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

E = 931^.0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы D называют разность между массой нейт­рального атома данного изотопа и его массовым числом А: D = m_а—А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем учебном пособии всюду имеется в виду дефект массы Dm, определяемый формулой (3.17).

Пример 8. При соударении a-частицы с ядром бора B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение. Обозначим неизвестное ядро символом Х. Т.к. a-частица представляет собой ядро гелия Не, запись реакции имеет вид

Не+ B® Н+ Х.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10 = 1+А. откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5 = 1+Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода C.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Не+ B® Н+ C.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931[(m_He+m_B)-(m_H+m_C)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтраль­ных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подста­вив массы атомов в расчетную формулу, получим

Q = 931(4,00260+ 10,01294)—(1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06 МэВ.

Пример 9. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т_½ магния считать известным.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отно­шением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

A = -dN/dt. (3.22)

Знак «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Для того ч

A = -dN/dt. (3.22)

Знак «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀e^-lt,

где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0); l – постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (3.22) по времени:

dN/dt = -lN₀e^-lt. (3.23)

Исключив из формул (3.22) и (3.23) dN/dt, находим актив­ность препарата в момент времени t:

А = lN₀e^-lt. (3.24)

Начальную активность A₀ препарата получим при t = 0:

A₀ = lN₀. (3.25)

Постоянная радиоактивного распада l связана с пе­риодом полураспада Т_½ соотношением

. (3.26)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изо­топе, равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества u данного изотопа:

, (3.27)

где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (3.26) и (3.27) формулы (3.25) и (3.24) принимают вид

; (3.28)

. (3.29)

Произведем вычисления, учитывая, что T_½ = 10 мин = 600 с, ln2 = 0,639, t = 6 ч = 6^.3,6^.10³ с = 2,16^.10⁴ с:

= 5,13^.10¹² Бк = 5,13 ТБк;

= 81,3 Бк.