Основные формулы и законы

Теория атома водорода по Бору. Момент импульса электрона (первый постулат Бора)

L_n = ћn, или mu_nr_n = ћn,

где m – масса электрона; u_n – скорость электрона на n-й орбите; r_n – радиус n-й стационарной орбиты; ћ – постоянная Планка; n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3,...).

Энергия электрона в водородоподобном атоме

(n = 1, 2, 3…).

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода (второй постулат Бора),

ε = ћw = E_n1-E_n2,

или

,

где n₁ и n₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме, E_i –энергия ионизации.

Обобщенная формула Бальмера

,

где ν частота или λ длина волны, соответствующие линиям спектра водородоподобных ионов излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга, Z – порядковый номер элемента.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля

,

где р – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

а)

б)

где m₀ – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; u – скорость частицы; с – скорость света в вакууме; Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = m₀с²).

Соотношение неопределенностей:

а) Δp_xΔx ³ ћ (для координаты и импульса),

где Δр_x – неопределенность проекции импульса на ось X; Δх – неопределенность координаты;

б) ΔEΔ t³ ћ (для энергии и времени),

где ΔE – неопределенность энергии; Δt – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где y(x) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m –

масса частицы; Е – полная энергия; U = U(x) – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где dw(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

.

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии),

где n – квантовое число (n = 1, 2, 3,...); l – ширина ящика. В области 0£x£l U = µ и y(x) = 0.

Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

A = Z+N,

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

 

Закон радиоактивного распада

dN = λNdt, или N = N₀e^-λt,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0); λ – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

ΔN = N₀-N = N₀(1-e^-λt).

В случае, если интервал времени Δt, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

ΔN = λNΔt.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

T_1/2 = (ln2)/λ = 0,693/λ.

Среднее время τ жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

N = mN_A/M,

где m – масса изотопа; М – молярная масса; N_A – постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопа

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A₀ – активность изотопа в начальный момент времени

 

Удельная активность изотопа

a = A/m.

Дефект массы ядра

Δm = Zm_p+(A-Z)m_n-m_я,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (А — Z) – число нейтронов в ядре; m_р – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

Энергия связи ядра

E_св = Δmc²,

где Δm – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна E_св = 931Δm, где дефект массы Δm – в а.е.м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а.е.м.~931МэВ).