Исследование и сравнение вариационных рядов

При изменчивости случайной величины в зависимости от множества факторов возникает необходимость проверки выборки на подчинение закону нормального распределения. Она проводится, как известно, при помощи показателей асимметрии А и эксцесса Э и их ошибок.

Для вычисления А и Э необходимо вычислить центральные моменты µ₂ , µ₃ и µ₄ :

 

µ₂ = m₂ – m₁² = 3,05 – 0,15² = 3,03;

µ₃ = m₃ – 3m₂ m₁ +2 m₁³ = - 0,48 – 3·3,05 ·(-0,15) + 2·(-0,15)³ = 0,88;

µ₄ = m₄ – 4m₃m₁ + 6m₂m₁² – 3m₁⁴ = 21,28 – 4·(-0,48)·(-0,15) +

+6·3,05 (-0,15)² – 3(-0,15)⁴ = 21,28 – 0,29 + 0,41 – 3,00 = 18,40.

 

Асимметрия (мера косости) равна:

 

А = = = 0,17.

 

(При А < 0,5 косость считается малой, при величине от 0,5 до 1 – средней и если А > 1 – большой.)

Эксцесс (мера крутости) равняется:

 

Э = - 3 = - 3 = -1,00.

 

Основные ошибки А и Э вычислим, используя приближенные формулы:

 

m_A = = = 0,194 ; m_Э = 2 = 2 = 0,388.

 

Достоверность косости t_A = A: m_A = 0,17 : 0,194 = 0,88 (< 4, следовательно, достоверность косости не подтверждается).

Достоверность крутости t_Э = Э : m_Э = -1,00 : 0,388 = -2,58 (< 4, следовательно, достоверность крутости также не подтверждается).

Таким образом, отклонение крутости кривой от нормальной не доказано, а с учетом достоверности косости можно сделать вывод, что кривая соответствует закону нормального распределения.

Для проверки выборки на соответствие ее закону нормального распределения лучше использовать квадратичные отклонения асимметрии _А и эксцесса _Е . Если хотя бы один из показателей А или Э по абсолютной величине превосходит в два и более раз соответствующее квадратичное отклонение, то нормальность распределения случайной величины является недоказанной.

Вычислим средние квадратичные отклонения А и Э (в формулах N – количество наблюдений в выборке):

 

_А = = = 0,19;

 

_Е = = = 0,15.

 

Отношение А к _А составило 0,89, а Э к _А – 6,7. Следовательно, проверка на нормальность распределения, вычисленная вторым способом, не подтвердилась.

Достаточно распространенной задачей при исследованиях в лесном хозяйстве является сравнение выборок и оценка их различий. При сравнении малых выборок (N ≤ 30) применяют тест серий, ранговый тест, критерий Колмогорова-Смирнова, критерий Стьюдента, тест знаков для зависимых выборок. Для больших выборок (N > 30) оценку производят через критерий Стьюдента, непараметрический тест Сиджела-Тьюки, параметрический метод Фишера (Терентьев, Ростова, 1977).

Тест серий (Вальда-Вольфовича) улавливает различия по положению, характеру распределения и по разбросу сравниваемых рядов распределения.

Ранговый тест Уилкоксона основан на анализе объединенного ранжированного ряда. Он учитывает как общее размещение вариант, так и размеры серий.

Критерий Колмогорова-Смирнова основан на предположении о непрерывном распределении изучаемого признака в генеральной и выборочной совокупности.

Критерий Стьюдента t применяется при малых и больших выборках. Его часто используют научные работники в своих исследованиях и поэтому целесообразно привести его формулу:

 

t = ,

 

где М₁ , М₂ – средние значения соответственно первой и второй выборок;

m₁ , m₂ – основные ошибки средних значений.

Вычисленное по формуле значение t далее сравнивается со стандартным значением по таблице Стьюдента с учетом числа степеней (берется равным сумме числа наблюдений двух выборок за исключением двух) для определенного уровня значимости р (0,95; 0,99 или 0,999). Если фактическое значение меньше стандартного, то различие считается недостоверным.

При сравнении средних показателей двух больших выборок, если показатель t равен 3 и более, можно считать различие существенным (при вероятности р =0,999).

Тест знаков относится к простейшим методам оценки различий между зависимыми переменными. Значения сравниваемых рядов записываются в строчки, причем чтобы первое значение второго ряда было под таким же в первом и т.д. Затем в парах значений определяется направление – увеличение (+) или уменьшение (-) – и подсчитывается число пар с реже встречающимся направлением изменения. Полученные значения сравниваются затем с табличными данными.

Тест Сиджела-Трюки основан на ранговой оценке разброса вариант в ранжированном ряду. При этом первому значению присваивается ранг 1, второму – 2 и т.д. Затем вычисляется значение теста по формуле и сравнивается с табличным значением.

Критерий Фишера F, как и критерий Стьюдента, находит довольно частое применение. Он основан на оценке выборочных дисперсий σ²:

F = ,

где σ₁ и σ₂ – средние квадратичные отклонения первой и второй выборок.

Если фактическое значение критерия Фишера будет больше стандартного (табличного), то различие считается доказанным.