Аппаратный генератор случайных чисел

Кроме устаревших, хорошо известных LFSR-генераторов, широко применявшихся в качестве аппаратных ГПСЧ в XX веке, к сожалению, очень мало известно о современных аппаратных ГПСЧ (поточных шифрах), так как большинство из них разработано для военных целей и держатся в секрете. Почти все существующие коммерческие аппаратные ГПСЧ запатентованы и также держатся в секрете. Аппаратные ГПСЧ ограничены строгими требованиями к расходуемой памяти (чаще всего использование памяти запрещено), быстродействию (1-2 такта) и площади (несколько сотен FPGA- или ASIC-ячеек). Из-за таких строгих требований к аппаратным ГПСЧ очень трудно создать криптостойкий генератор, поэтому до сих пор все известные аппаратные ГПСЧ были взломаны. Примерами таких генераторов являются Toyocrypt и LILI-128, которые оба являются LFSR-генераторами, и оба были взломаны с помощью алгебраических атак.

Из-за недостатка хороших аппаратных ГПСЧ производители вынуждены применять имеющиеся под рукой гораздо более медленные, но широко известные блочные шифры (DES, AES) и хеш-функции (SHA-1) в поточных режимах.

19. Встроенные функции MathCAD для оценки числовых характеристик случайной выборки.

В Mathcad имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик рядов случайных данных:

• mean(x) — выборочное среднее значение;
• median (х) — выборочная медиана (median) — значение аргумента, которое делит гистограмму плотности вероятностей на две равные части;
• var (х) — выборочная дисперсия (variance);
• stdev(x) — среднеквадратичное (или стандартное) отклонение (standard deviation);
• max(x) ,min(x) — максимальное и минимальное значения выборки;
• mode(x) — наиболее часто встречающееся значение выборки;
• var(х),stdev(x) — выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение в другой нормировке:

х — вектор (или матрица) с выборкой случайных данных.

Пример использования первых четырех функций приведен в листинге 12.10.

Листинг 12.10. Расчет числовых характеристик случайного вектора

 

Определение статистических характеристик случайных величин приведено в листинге 12.11 на еще одном примере обработки выборки малого объема (по пяти данным). В том же листинге иллюстрируется применение еще двух функций, которые имеют смысл дисперсии и стандартного отклонения в несколько другой нормировке. Сравнивая различные выражения, вы без труда освоите связь между встроенными функциями.

ВНИМАНИЕ!

Осторожно относитесь к написанию первой литеры в этих функциях, особенно при обработке малых выборок (листинг 12.11).

 

Листинг 12.11. К определению статических характеристик

Иногда в статистике встречаются и иные функции, например, помимо арифметического среднего, применяются другие средние значения:

· gmean(x) — геометрическое среднее выборки случайных чисел;

· hmean(x) — гармоническое среднее выборки случайных чисел.

Математическое определение этих функций и пример их использования в Mathcad приведены в листинге 12.12.

Листинг 12.12. Вычисление различных средних значений

20. Моделирование корреляционной матрицы системы случайных выборок

Корреляционная матрица — матрица коэффициентов корреляции нескольких случайных величин с ненулевыми дисперсиями

в которой элементы есть коэффициенты корреляции соответствующих случайных величин. Диагональные элементы матрицы равны единице. Справедливо соотношение , где — диагональная матрица с элементами .

Корреляционная функция – неслучайная функция 2-х аргументов.

Спектральная плотность случайного процесса – функция частоты.

Sx – распределение дисперсии случайного процесса по частотам непрерывного спектра.