Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана параметрически: где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Нужно найти . Предположим, что имеет однозначную обратную функцию . Продифференцируем уравнение по , как сложную функцию, считая промежуточным аргументом, зависящим от : ; . Так как , то получим:

. (4)

ПримерПусть Найти .

Решение. По формуле (4), получаем

Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.

Определение.Функция , у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.

Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.

ПримерДана функция . Найти .

Решение. Прологарифмировав функцию , получим

.

Дифференцируем полученное уравнение по : . Из последнего равенства найдем :

.