Явления переноса.

Явления переноса - группа необратимых процессов, связанных с выравниванием неоднородностей плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса).

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь, λ, который называется длиной свободного пробега.: <λ> = 1/(√2nπd²), где n - концентрация молекул.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.

Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье [Ж.Фурье (1768-1830) - французский математик и физик], который в случае стационарности может быть записан:

j_E = -К(dT/dx), (4.1)

где j_Е - плотность теплового потока - величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, К - теплопроводность (коэффициент теплопроводности), dT/dx – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки j_Е и dT/dx противоположны). Теплопроводность К численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что

K = 1/3C_vρ<v><λ>, (4.2)

где С_v - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), ρ - плотность газа, <v>- средняя скорость теплового движения молекул, <λ> - средняя длина свободного пробега.

Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном "стоят" на месте.

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика [А.Фик (1829-1901) - немецкий ученый], который в случае стационарности может быть записан

J_m = -D(dρ/dx), (4.3)

где j_m - плотность потока массы - величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х; D - диффузия (коэффициент диффузии); dρ/dx - градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки j_m и dρ/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов

D = 1/3<v><λ>. (4.4)

Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее - увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона [И.Ньютон (1643-1727) - английский ученый]:

F = η|dv/dx|S, (4.5)

где η - динамическая вязкость (вязкость); dv/dx - градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев; S - площадь, на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (4.5) можно представить в виде

j_p = - η(dv/dx), (4.6)

где j_p - плотность потока импульса - величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, dv/dx - градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j_р и dv/dx противоположны).

Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле

η = 1/3ρ<v><λ>. (4.7)

 

Электростатическое взаимодействие. Электрические заряды и поля. Два вида зарядов. Дискретность заряда. Элементарный заряд. Закон сохранения электрического заряда. Электризация тел. Взаимодействие заряженных тел. Закон Кулона.

 

В курсе механики изучают гравитационное взаимодействие тел. Однако большое значение имеет электрическое, статистическое взаимодействие. Существуют процессы, в результате которых ранее не взаимодействующие тела начинают проявлять силы притяжения или отталкивания. Простейшим является электризация трением тел друг от друга, например, при трении стекла о кожу, тела притягиваются друг к другу. Тела, сохраняющие электризацию только в местах соприкосновения – изоляторы. Если же электризация распределена по всему телу, то это тело – проводник. Внешняя электризация проявляется во внешнем воздействии. Для описания этих процессов вводится понятие об электрическом заряде и электрическом поле. Положительные заряды возникают на стеклянной палочке при трении о кожу. Отрицательный заряд – на янтаре, потертым шерстяной тканью. Электрический заряд – неотъемлемой частью некоторых электрических частиц. Заряд всех электрических частиц одинаков по обеим величинам. Исключение составляют нейтральные частицы, чей заряд равен нулю. Заряд электрических частиц принято называть электрическим зарядом е.
К числу электрических частиц принадлежат: электрон, протон и нейтрон. Из этих частиц построены атомы и молекулы любого вещества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел. Обычно частицы несущие заряды различных знаков находящихся на веществах и распределяющихся одинаковой плотностью, поэтому все тела электрически нейтральны. При электрическом трении происходит разделение положительных и отрицательных зарядов. В результате перемещения отрицательных зарядов электризуются оба тела, причем одно положительно, другое отрицательно. Количество частиц во время этого процесса остается неизменным. В этом заключается закон сохранения электрического заряда. Его строгие формулировки в следующем:

Заряды не создаются и не исчезают, а лишь передаются от одного тела к другому или перемещаются внутри данного тела.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов остается неизменной n

q_i = const

i=1

Поскольку всякий заряд образуется совокупностью электрических зарядов, то он является целым кратным электрического заряда q= +(-) n*e. Это свойство заряда – дискретность. Электрическое поле появляется одновременно с зарядом. Электрическое поле окружает заряд – объективная реальность существования независимо от нас, и воздействующее на наши органы чувств посредством приборов. Электрическое поле как и вещество – одна из форм существования материи.

Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить если в это поле внести другой заряд на который будет действовать определенная сила. Величина этой силы определяется по закону Кулона.

Законы электростатики применены к точечным зарядам. Реально точечные заряды не существуют. Точечный заряд определяют как модель заряженного тела, которая удовлетворяет некоторым условиям. Точечный заряд – тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других тел несущих электрический заряд.

Шарль Кулон опытным путем исследовал закономерности взаимодействия заряженных электричеством шариков и установил, что сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними F= K*q_1*q₂/r², где К – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения и от среды, куда помещены заряды q₁ и q₂ , r – расстояние между ними, K = 1/(4πε₀).

Если поле образовано несколькими зарядами, то силы, действующие на пробный заряд складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряжение в данной точке поля равно векторной сумме напряжений поля от каждого заряда в отдельности

Данное положение называется принципом суперпозиции или положением полей.

 

Напряженность электрического поля. Вектор напряженности. Графическое изображение электрических полей. Принцип суперпозиции. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского - Гаусса.

Напряженность электрического поля в некоторой точке пространства – это физическая векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный пробный заряд, помещённый в данную точку поля.

Внесём в электрическое поле, созданное зарядом q точечный заряд, называемый пробным q, на этот заряд будет действовать сила, равная:

F= (1/4πε₀) * q_1*q_пр/r²

Если в одну и ту же точку поля помещать разные заряды, то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам F /q_пр для всех вносимых зарядов одинакова: E= F /q_пр

Если положить, что q_пр =1, то E = F. Таким образом, напряженность электрического поля является силовой характеристикой этого поля. Следовательно, за единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, где на единицу заряда действует единица силы при положительном заряде q, образующем поле. В системе СИ измеряется в В/м.

Вектор напряженности направлен вдоль радиус - вектора от заряда при положительном заряде, образующем поле. При отрицательном заряде - вдоль радиус–вектора к заряду.

Напряженность поля образованного точечным зарядом, в точке, удалённой на расстояние r от заряда:

Е=(1/4πε₀) * q_1*q_пр/r²

Если поле образовано несколькими зарядами, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и результирующая напряженность в данной точке поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности. В этом состоит принцип суперпозиции напряженностей электрического поля.

Электростатичное поле можно наглядно изобразить с помощью силовых линий или линий напряженности.

Силовые линии – кривые, касательные в каждой точке, которым совпадают с направлением вектора напряжененности. Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Электростатичное поле исследуют пробным электрическим зарядом при внесении пробного положительного в поле силы, направленной в сторону этого заряда, поэтому считают, что силовые линии выходят из положительного заряда и входят в отрицательный.

Для того чтобы силовые линии характеризовали значение его напряженности, число линий должно быть численно равно напряженности поля. Поэтому условились подсчитывать число линий, приходящихся на единицу поверхности каждой силовой линии. Если напряженность поля всюду одинакова по величине и направлению, то такое поле называют однородным.

Число линий напряженности , пронизывающих единицу поверхности называют потоками вектора напряженности. Пусть требуется определить поток, пронизывающий поверхность в однородном электрическом поле.

 

 

 

Выберем нормаль n к поверхности она составляет угол α с направлением линии напряженности. Изобразим проекцию поверхности s на плоскость, перпендикулярную к направлению линии напряженности. Обозначим величину площади через s₀. Весь поток через s₀ будет равен Ф=Е* s₀ . Очевидно, что такой же поток пронизывает и s. Проекция вектора напряженности на направление нормали E_n=Е· s, поток вектора напряженности через площадку s в однородном поле будет Ф=∫Еn*ds, Еn - проекция вектора Е на нормаль к поверхности.

Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды:

Ф=∫Еn*ds=∑q_i.

 

Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал электрического поля точечного заряда. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля. Мембранные потенциалы и нервные импульсы.

Рассмотрим работу электростатических сил при перемещении зарядов q из одной точки поля в другую по произвольному пути, который обозначим

1-а-2, А=q∫Edl.

Для электростатического поля работа зависит от начальной и конечной точек перемещения, но не от его формы.

q∫Edl=(φ₁-φ₂)q, φ - соответственно потенциальные функции, тогда A=q(φ₁-φ₂). С другой стороны работа по перемещению заряда равна убыли потенциальной энергии этого заряда A=∆W_п=W₁-W₂ , φ=W/q, φ – потенциал электростатического поля – отношение потенциальной энергии заряда к величине заряда, помещенного в данную точку поля.

Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле - величина относительная. Для получения численного значения потенциала в каждом случае выбирают энергетический уровень, относительно которого определяют запас энергии заряда φ₁-φ₂=A/q. Если положить, что q=+1, то (φ₁-φ₂) = А. (φ₁-φ₂) – работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Условно принято считать потенциал точки, расположенной на бесконечности равным нулю. Если положить, что φ₂=0, то формула принимает вид φ₁=A/q. Тогда при q=+1 φ₁=A , следовательно, потенциал равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки поля в находящуюся на бесконечности. Из последней формулы следует, что единица измерения потенциала φ 1В=1Дж/Кл.

Совокупность точек поля, имеющих равный потенциал, называют эквипотенциальной поверхностью.

Таким образом, электростатическое поле можно характеризовать двумя величинами: Е и φ. Причем напряженность является силовой характеристикой поля, а потенциал – энергетической характеристикой поля.

Допустим положительный заряд +q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал φ₁, на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую φ₂, φ₁<φ₂. Считаем напряженность поля на всем пути ∆r постоянной. Тогда ∆А=qE∆r, qE=F, A=-∆W=-q(φ₁-φ₂)=-q∆φ. Следовательно Е= -∆φ/∆r или переходя к дифференциалу Е=-dφ/dr. Следовательно, E=-gradφ.

Gradφ характеризует быстроту изменения φ в направлении силовой линии. В случае однородного поля с напряженностью Е, например, поля между бесконечными параллельными пластинами, имеющими φ₁ и φ₂ и расположенными на расстоянии d. Получим уравнение, имеющее следующий вид Е=(φ₁-φ₂)/d=U/d, следовательно единица напряженности поля является 1В/м.

. Мембранные потенциалы

Стенки живых клеток представляют собой тонкие мембраны, которые состоят из двух слоев белка, разделенных слоем молекул липидов (жиров). Каждый такой слой имеет толщину порядка 3нм, а толщина всей мембраны – 9нм.

Мембраны клетки разделяют два участка, содержащие различные растворенные ионы. В межклеточном пространстве имеется избыток ионов Na⁺ и Cl^-, а внутри клетки наибольшую концентрацию имеют ионы К⁺. Эти ионы могут диффундировать через пористую белковую структуру мембраны, однако скорость диффузии различных ионов различна. Кроме ионов Na⁺ , К⁺ и Cl^- внеклеточные и внутриклеточные жидкости содержат большое количество отрицательных ионов (ионы фосфата, карбоната и большие органические ионы). Размеры всех этих ионов больше, чем поры в белковых слоях, поэтому мы игнорируем их диффузионный эффект.

ион	Концентрация ионов Сi , моль/л	Концентрация ионов Се , моль/л	Сi/ Се	Потенциал Нернста, мВ
Na+			0,103	+60
К+				-90
Cl-			0,072	-70

 

 

Рис.1. Схематическое представление эффектов диффузии и активного транспорта при наличии на мембране клетки разности потенциалов. Потенциал во внеклеточном пространстве считается равным 0.

 

Если мы рассмотрим пассивную мембрану с одинаковым электрическим потенциалом вне и внутри клетки, то ионы К⁺, например, будут диффундировать через мембрану с одинаковой скоростью в обоих направлениях и градиент концентрации не возникает. Но на поверхностях мембраны клетки существует двойной слой зарядов, который создает разность потенциалов между внутриклеточным и межклеточным пространством.

Она приблизительно равна 70 мВ. Эта разность потенциалов обуславливает наличие градиента концентрации различных ионов. Избыток заряда с каждой стороны мембраны имеется только на ее поверхности, жидкость с каждой стороны мембраны электрически нейтральна.

Разность потенциалов на мембране U, которая может поддерживать равновесное состояние концентраций С_i/ С_е при нормальной температуре тела (300 К), задается уравнением Нернста:

U = U_i – U_е = -61 log (С_i/ С_е ),

где U выражено в мВ. Это уравнение применимо для положительных ионов. Для отрицательных ионов знак разности потенциалов меняется на противоположный. Для Cl^- :

U = 61 log (9/ 125 ) = -70 мВ.

Разность потенциалов в действительности равна 70 мВ, поэтому ионы Cl^- находятся в равновесии. Это значит, что ионы Cl^- диффундируют из клетки и обратно с одинаковыми скоростями, а разность концентраций поддерживается за счет разности потенциалов.

U(Na⁺) = +60 мВ.

Этот потенциал далек от значения потенциала действия, поэтому ионы Na⁺ стремятся диффундировать из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией (внутрь клетки).

U(К⁺) = +60 мВ.

Потенциал внутри клетки недостаточно отрицателен, чтобы поддерживать состояние равновесия. Значит ионы К⁺ из-за разности концентраций диффундируют из клетки.

В дополнение к диффузии существует активный перенос ионов Na⁺ и К⁺ через мембрану. Этот активный перенос назван механизмом (комплексом химических реакций), именуемый калий-натриевым насосом. Действие насоса состоит в прыскивании ионов К⁺ в клетку и выведении Na⁺ из клетки. Этот процесс идет противоположно направлению нормальной диффузии обоих веществ. Энергию для функционирования насоса дают метаболические процессы внутри клетки. Детали механизма действия насоса неизвестны.

В состоянии покоя мембрана проницаема для ионов К⁺ в 50-100 раз больше, чем для ионов Na⁺. Поэтому, когда ионы К⁺ накачиваются в клетку, они снова стремятся диффундировать наружу. U=-90 мВ (потенциал Нернста) близок к действительному межклеточному потенциалу (-70 мВ). Это значит, что для поддержания соответствующих концентрационных отношений калиевый насос не должен работать очень интенсивно. Калиевый насос значительно слабее натриевого.

Т.к. мембрана тонка, факт существования разности потенциалов 70 мВ означает, что напряженность электрического поля внутри мембраны очень велика:

Е = U : d = 0,070 В : ( 9,0^.10^{-9 м) = 7,8.}10⁶ В/м

Это очень большое поле. Когда Е = 3^.10⁶ В/м в воздухе, между двумя проводниками возникает искра.

Хотя напряженность поля внутри мембраны очень велика, необходимо немного ионов для ее поддержания.

Объем клетки человеческого тела равен 10^-15м³, площадь поверхности клетки – 5^.10^-10м², емкость мембраны клетки ≈10^-2Ф/м². Полный заряд на такой мембране:

Q = C * U = ( c на единицу площади)*(площадь)*U = 10^-2*5*10^-10*0,070 = 3,5*10^-13Кл.

Тогда число однозарядных ионов равно:

n = (3,5*10^-13/1,6*10^-19) = 2*10⁶

Это число можно сравнить с числом ионов N_k внутри клетки:

N_k = С*V*N_a = (150*10^-3 моль/ 10^{-3 м3}) * 10^{-15 м3} * 6,02*10²³ ион/моль = 9*10¹⁰

Т.о. чтобы поддержать поле внутри мембраны, нужно перенести на внешнюю поверхность клетки только около 2*10⁶/9*10¹⁰=2*10^-5, или один ион на 50000 ионов калия.