Комбинированный метод

Пусть f(a)f(b)<0и f'(x) и f''(x) сохраняют постоянные знаки на [a,b]. Соединяя метод хорд и касательных, получаем метод, на каждом этапе которого находится значение по недостатку и по избытку точного корня уравнения f(x)=0.

Процесс вычисления прекращаем, когда длина отрезка, на котором находится корень уравнения, будет меньше заданной точности ε. За значение корня лучше принять среднее арифметическое полученных последних значений.

Геометрическая интерпретация комбинированного метода:

Пример: Вычислить с точностью ε=0.0005 комбинированным методом корень уравнения x5x–0.2=0 лежащий на интервале (1,1.1).

Определим, какой из концов отрезка выбрать в качестве начального приближения по методу хорд, и по методу касательных. Для этого вычислим f'(x)=5x4–1, f''(x)=20x3, f(1)f''(1)<0, значит положим x1=1 – начальное приближение по методу хорд, x2=1.1 – начальное приближение для метода касательных.

Program Komb; {комбинированный метод}

Const eps=0.0005;

Var

a,b,x,x1,x2,y1,y2,delta :Real;

n :Integer;

Function F(z:Real):Real;

Begin

F:=sqr(z)*sqr(z)*z-z-0.2;

End;

Function F1(z:Real):Real;

Begin

F1:=5*sqr(z)*sqr(z)-1;

End;

Function F2(z:Real):Real;

Begin

F2:=20*sqr(z)*z;

End;

Begin

Write ('Введите отрезок [a,b]-->');

ReadLn (a,b);

If F(a)*F2(a)<0 then begin x1:=a; x2:=b;

End

else begin x1:=b; x2:=a;

end;

n:=0;

Repeat

y1:=x1-F(x1)/(F(b)-F(x1))*(x2-x1);

y2:=x2-F(x2)/F1(x2);

delta:=abs(y2-y1);

n:=n+1;

x1:=y1; x2:=y2;

Until delta<eps;

x:=(x1+x2)/2.0;

WriteLn('Корень уравнения x=',x:8:4);

WriteLn('Проверка f(',x:8:4,')=',F(x):8:5);

WriteLn ('Количество приближений n=',n);

End.


ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

Для вычисления определенного интеграла используют квадратурные формулы вида

где xk и Ak определяются квадратурной формулой, R – остаточный член или погрешность квадратурной формулы.

Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на n равных частей системой равноотстоящих точек xi=x0+ih, где i=0,1,2,...,n; x0=a, xn=b, — шаг разбиения. Затем вычисляем подынтегральную функцию в полученных узлах: yi=f(xi).

Квадратурные формулыдля равноотстоящих узлов:

1) формула левых прямоугольников:

где yi=f(xi), xi=a+ih;

2) формула правых прямоугольников:

где yi=f(xi), xi=a+ih;

3) формула центральных прямоугольников:

где yi=f(xi),

4) формула трапеций:

где yi=f(xi), xi=a+ih;

5) формула Симпсона (формула парабол):

где yi=f(xi), xi=a+ih,

6) формула Ньютона (правило ):

где yi=f(xi), xi=a+ih, .

Интегралы считаются с помощью квадратурных формул с точностью e. Для того, чтобы достичь требуемой точности вычисления e, используется способ двойного пересчета: интеграл вычисляют по выбранной квадратурной формуле дважды, сначала с некоторым шагом h, затем с шагом , т.е. удваивают число n (количество точек разбиения [a,b]).

Обозначим результаты разбиений через Jn и J2n соответственно и сравним их. Если |Jn-J2n|<e, где e – погрешность вычислений, то в качестве результата берут J2n. Если |Jn-J2n|³e, то вычисления повторяют с шагом и т.д.

Пример: С помощью формулы трапеций вычислить интеграл

с точностью e=0.01.

Program Integ1;

{Вычисление интеграла по формуле трапеций }

{без передачи имени функции в качестве параметра }

Uses Crt;

Const eps=0.01;

Var

a,b,eps,integral :Real;

nn :Integer;

{подинтегральная функция}

Function F(z:Real):Real;

Begin

f:=1/(z-1);

End;

{процедура вычисления интеграла}

Procedure Trap(a1,b1:Real; n:Integer;

eps1:Real; var tk:Real);

Var

i :Integer;

x,t0,s,h :Real;

Begin

t0:=f(a1)+f(b1)/2;

{t0–предыдущее значение интеграла}

{tk – последующее значение интеграла}

While True do

Begin

h:=(b1-a1)/n; {шаг}

s:=f(a1)+f(b1)/2;

For i:=1 to n-1 do

Begin

x:=a1+i*h;

s:=s+f(x);

end;

tk:=s*h;

If abs(tk-t0)<eps then Exit;

t0:=tk;

n:=2*n; {удваиваем количество разбиений}

end;

End;

Begin

Clrscr;

Write('Введите пределы интегрирования a,b’);

ReadLn (a,b);

nn:=6; {начальное значение количества разбиений}

Trap(a,b,nn,eps,integral);

WriteLn('Значение интеграла ',integral:8:4);

Repeat Until KeyPressed;

End.

 

{Вычисление интеграла по формуле трапеций }

{c передачей имени функции в качестве параметра }

Program Integ2;

Uses Crt;

Const eps=0.01;

Type Func=Function (z:Real):Real;

Var

a,b,eps,integral :Real;

nn :Integer;

{подинтегральная функция}

Function F1(z:Real):Real; Far;

Begin

F1:=1/(z-1);

end;

{процедура вычисления интеграла}

Procedure Trap(a1,b1:Real; n:Integer;

eps1:Real;f:Func; var tk:Real);

Var

I :Integer;

x,t0,s,h :Real;

Begin

t0:=f(a1)+f(b1)/2;

{t0 – предыдущее значение интеграла }

{tk – последующее значение интеграла}

While True do

Begin

h:=(b1-a1)/n; {шаг}

s:=f(a1)+f(b1)/2;

For i:=1 to n-1 do

Begin

x:=a1+i*h;

s:=s+f(x);

end;

tk:=s*h;

If abs(tk-t0)<eps then Exit;

t0:=tk;

n:=2*n; {удваиваем количество разбиений}

end;

End;

Begin

Clrscr;

Write('Введите пределы интегрирования a,b');

ReadLn (a,b);

nn:=6; {начальное значение количества разбиений}

Trap(a,b,nn,eps,F1,integral);

WriteLn('Значение интеграла ',integral:8:4);

Repeat Until KeyPressed;

End.

 


ЛИТЕРАТУРА

1. Бородич Ю.С. и др. Паскаль для персональных компьютеров: Справ. Пособие / Ю.С.Бородич, А.Н.Вальвачев, А.И.Кузьмич. – Мн.: Выш. шк.: БФ ГИТМП «НИКА», 1991. – 365 с.

2. Вальвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для персональных ЭВМ ЕС: Справ. пособие. – Мн.: Выш.шк., 1989. – 223 с.: ил.

3. Офицеров Д.В. и др. Программирование на персональных ЭВМ: Практикум: Учеб. Пособие / Д.В.Офицеров, А.Б. Долгий, В.А.Старых; Под общ. ред. Д.В.Офицерова. – Мн.: Выш.шк., 1993. – 256 с.

4. Немнюгин С.А. Turbo Pascal: практикум – СПб: Питер, 200. – 256 с.:ил.

5. Пантелеева З.Т. Графика вычислительных процессов: Учеб.пособие. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 167 с., ил.

6. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: «Нолидж», 1997. – 616 с., ил.

7. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Изд. 7-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА – М, 1997. – 640 с.: ил.


 

 

Учебное издание

 

 

Ружицкая Елена Адольфовна

Карасёва Галина Леонидовна

Орлов Владимир Васильевич

Дёмова Тамара Максимовна