Биномиальное распределение.

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может произойти с одной и той же вероятностью р (следовательно, вероятность непоявления
q =1 – p). Дискретная случайная величина Х – число наступлений события А – имеет распределение, которое называется биномиальным.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2,…, х_n+1 = n. Вероятность возможного значения Х = k (числа k появления события) вычисляют по формуле Бернулли:

P_n(k) = C_n^k·p^k·q^n–k, где k = 0, 1, 2, …, n.

Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы:

Х			…	k	…	n
Р	Cn0·p0·qn	Cn1·p1·qn–1	…	Cnk·pk·qn–k	…	Cnn·pn·q0

Название закона связано с тем, что вероятности P_n(k) при k = 0, 1, 2, …, n являются членами разложения бинома Ньютона

(p + q)ⁿ = qⁿ + C_n¹·p¹·q^n–1 + … + C_n^k·p^k·q^n–k + … +pⁿ.

Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей второй строки таблицы равна 1, так как p+q=1.

Задача 12.7. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в течение часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон распределения случайной величины Х – числа станков, остановившихся в течение часа.

2) Найти вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от одного до трех станков.

Решение. 1) Возможные значения Х следующие: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятность этих значений можно найти по формуле Бернулли, потому что Х имеет биномиальное распределение (станки останавливаются независимо друг от друга с постоянной вероятностью р = 0,8). Получаем р₄(0) = q⁴ = 0,0016, р₄(1)=

= C₄¹· p¹ · q³ = 0,0256, р₄(2)= C₄²· p² · q² = 0,154, р₄(3)= C₄³· p³ · q¹ = 0,41, р₄(4)= p⁴ = = 0,41. Ряд распределения имеет вид

Х
Р	0,0016	0,0256	0,154	0,41	0,41

2) а) Р(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0,41+0,41=0,82.

б) P(1£X£3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,0256+0,154+0,41=0,59.