Дифференциального уравнения

 

1. Дифференциальные уравнения вида .

Уравнения вида решаются при помощи n – кратного интегрирования. Рассмотрим пример.

Пример 10.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Четырежды проинтегрируем данное уравнение по переменной x:

,

,

,

,

где , .

Таким образом, общее решение исходного уравнения четвертой степени зависит от четырех произвольных констант.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка . Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

 

. (10.7)

 

2. Дифференциальные уравнения вида .

Если в дифференциальном уравнении второго порядка отсутствует переменная y, то с помощью замены переменной , данное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка .

Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Произведем замену переменной: . Тогда мы получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Разделяя переменные, получим:

. Очевидно, что константа . При этом можно обозначить . Мы получили общее решение дифференциального уравнения . Для того, чтобы найти общее решение исходного уравнения мы должны вспомнить, что . Таким образом, можно найти, решая дифференциальное уравнение :

.

Читателям, в качестве упражнения, предлагаем найти данный интеграл самостоятельно.

В полученном общем решении исходного дифференциального уравнения участвуют две произвольные константы a и b.

 

3. Дифференциальные уравнения вида .

 

Если в дифференциальном уравнении второго порядка отсутствует переменная x, то с помощью замены переменной , (или просто ) данное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка .

Пример 10.7. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Произведем замену переменной: . Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной y:

. После сокращения на p, мы убеждаемся в том, что данное уравнение является линейным. Как обычно, его решение найдем, произведя замену :

. (10.8)
1) Подберем функцию v, предполагая, что (при этом уравнение (10.8) становится существенно проще). Т.е. функция v(x) является произвольным частным решением дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

.

2) Подставляя в уравнение (10.8), найдем функцию u(x):

. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения (10.8) является . Вспоминая о том, что , мы приходим к дифференциальному уравнению первого порядка , из которого найдем :

. Интегрируя последнее равенство, мы находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

и, следовательно, .