Интегрирование тригонометрических функций

 

1. Интегралы вида , где m и n – натуральные числа.

(a) Среди показателей степеней n и m есть хотя бы одно нечетное число. В этом случае используем прием подведения множителя под знак дифференциала.

 

Пример 7.11.

(b) Оба показателя степени n и m – четные числа. В этом случае применяем тригонометрические формулы понижения степени:

.

 

Пример 7.12.

 

.

 

2. Интегралы вида

 

В данном случае, применяя известные тригонометрические тождества

,

, ,

можно интеграл от произведения двух тригонометрических функций свести к интегрированию суммы двух тригонометрических функций.

Пример 7.13.

.

 

3. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегралы вида , где рациональная функция от sinx и cosx, можно свести к интегралам от частного двух многочленов. Это можно сделать при помощи так называемой универсальной тригонометрической подстановки: . При этом

, ,

.

Пример 7.14.

Мы воспользовались табличной формулой 11.

 

Глава 8. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы

 

§8.1. Задача о площади криволинейной трапеции.

Определение определенного интеграла

 

Предположим, нам требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некоторая непрерывная неотрицательная на отрезке [a; b] функция (рис. 8.1).

Разобьем отрезок [a; b] точками на n частей. Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . При этом криволинейная трапеция вертикальными прямыми разбивается на n полос, каждую из которых условно можно считать прямоугольником. Длина основания i-го прямоугольника равна Dx_i = x_i – x_{i – 1}, а за высоту приближенно можно принять значение функции y = f(x) в точке a_i . Таким образом, площадь i-й полосы приближенно равна . Площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей составляющих ее полос:

 

. (8.1)

 

Равенство (8.1) тем точнее выражает площадь криволинейной трапеции, чем каждая из составляющих ее полос больше напоминает прямоугольник, то есть, чем меньше каждое Dx_i.

Дадим теперь определение определенного интеграла. Пусть f(x) – произвольная функция, определенная на отрезке [a; b] (см. рис. 8.1). Разобьем отрезок [a; b] точками на n частей и выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . В полученных точках вычислим значения функции и вычислим сумму (данная сумма называется интегральной).

2 Предел интегральной суммы при , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части, и от выбора точек , называется определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a; b] и обозначается . Таким образом,

. (8.2)

 

Замечание. Условие означает, что длина каждого из отрезков стремится к нулю, а это возможно лишь тогда, когда число разбиений стремится к бесконечности (n® ¥). Обратное утверждение не верно. При n® ¥ могут остаться отрезки , длины которых не стремятся к нулю. Таким образом, в определении определенного интеграла условие нельзя заменить условием n® ¥.

1 Для любой непрерывной на промежутке [a; b] функции f(x) существует определенный интеграл .

1 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некоторая непрерывная неотрицательная функция равна:

. (8.3)
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

 

§8.2. Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница

Перечислим без доказательства основные свойства определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x).

 

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

. (8.4)

 

2. Определенный интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от этих функций:

. (8.5)

 

3. Пусть с – произвольная точка из промежутка [a; b], тогда:

. (8.6)

 

4. При изменении порядка интегрирования, определенный интеграл меняет знак на противоположный:

. (8.7)

 

5. Теорема о среднем значении. Внутри интервала (a; b) существует такая точка с, что

. (8.8)

 

6. Оценка определенного интеграла

. (8.9)
При доказательстве этих и других свойств используется определение определенного интеграла (формула (8.2)), однако, при решении практических задач пользоваться определением определенного интеграла крайне затруднительно. Обычно в таких случаях применяется формула Ньютона-Лейбница в сочетании со свойствами определенного интеграла, или приближенные методы.

1 Если функция интегрируема на промежутке [a, b], то она на
[a, b] имеет непрерывную первообразную. Это, в частности, справедливо когда f(x) непрерывна.

1 Формула Ньютона-Лейбница:

. (8.10)

 

Здесь через F(x) обозначена первообразная функции f(x) на промежутке [a; b].

Задача 8.1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение.

.

При вычислении данного интеграла, мы воспользовались 1-м и 2-м свойствами определенного интеграла и формулой Ньютона-Лейбница.

 

Задача 8.2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на ln10 и внесем множитель под знак дифференциала:

 

.

 

§8.3. Замена переменной и интегрирование по частям
под знаком определенного интеграла

 

Замену переменной под знаком определенного интеграла в отличие от замены переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляют, учитывая два обстоятельства:

1. В ходе замены переменной необходимо изменить пределы интегрирования. Так, если старыми пределами интегрирования являлись числа x₁ и x₂, и мы осуществили подстановку , то новыми пределами интегрирования будут числа .

2. После нахождения первообразной нет необходимости возвращаться к старой переменной x, нужно лишь в соответствие с формулой Ньютона-Лейбница подставить в нее новые пределы интегрирования t₁ и t₂:

 

.

Задача 8.3. Вычислить определенный интеграл: .

Решение.

.

 

1 Формула интегрирования по частям в случае определенного интеграла имеет вид:

. (8.11)
Задача 8.4. Вычислить интеграл: .

Решение.

 

§8.4. Приложения определенных интегралов

1. Вычисление площадей плоских фигур

g Площадь фигуры, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f₁(x), y = f₂(x), где f₁(x) и f₂(x) – некоторые непрерывные на отрезке [a; b] функции, причем (рис. 8.2), можно найти по формуле

. (8.12)
4 Без ограничения общности, можно считать, что . В противном случае обе функции можно увеличить на одну и ту же константу (при этом графики обеих функций сместятся вверх) такую, что новые функции окажутся неотрицательными.

Из рисунка 8.2 видно, что искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций . Каждую из площадей S₁ и S₂ можно найти по формуле (8.3). Следовательно

. 3

 

Задача 8.5. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями .

Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат (рис. 8.3). Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения параболы с прямой y = x – 1. Для этого решим систему:

 

.

Таким образом,

Искомую площадь найдем по формуле (8.12):

 

 

g Пусть криволинейная трапеция (рис. 8.1) сверху ограничена графиком функции, заданной параметрически на некотором отрезке [t₁; t₂], причем функция y(t) является непрерывной, а функция x(t) – непрерывно-дифференцируемой на данном отрезке. Тогда площадь S криволинейной трапеции находится по формуле:

. (8.13)

 

4Формула (8.13) получена из формулы (8.3), если в последней произвести замену переменной:

.

Новые пределы интегрирования t₁ и t₂ находятся из систем , . Они соответствуют началу и концу дуги, соответственно.3

 

Задача 8.6. Вычислить площадь, ограниченную первой аркой циклоиды
.

 

Решение. Построим первую арку циклоиды по точкам:

 

	t
	x		0.57a	3.14a	5.71a	6.28a
	y		a	2a	a

 

Таким образом, началу арки (точке А) соответствует значение параметра t₁ = 0, вершине (точке В) – значение t₂ = p, и концу (точке С) – значение t₃ = 2p . Площадь всей арки циклоиды можно найти, вычислив площадь половины арки S₁ (рис. 8.4). По формуле 8.13 получим

.

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

 

1 Предположим, что на плоскости некоторая дуга (кривая линия) является графиком непрерывно-дифференцируемой функции y = f(x) на отрезке
[a; b] (рис. 8.1). В этом случае длину l дуги можно вычислить по формуле:

. (8.14)
1 Предположим, что дуга (рис. 8.1) является графиком функции, заданной параметрически на некотором отрезке [t₁; t₂], причем функции y(t) и x(t) непрерывно-дифференцируемы на данном отрезке. Тогда длину l дуги можно вычислить по формуле:

 

. (8.15)

Задача 8.7. Вычислить длину дуги полукубической параболы на промежутке [0; 1] (рис. 8.5).

 

Решение. Полукубическая парабола состоит из двух симметричных относительно оси OX ветвей . Искомая длина l равна сумме длин дуг (l₁) и (l₂). Так как длины дуг и совпадают, то l =2l₁.

Таким образом, по формуле (8.14) мы получим:

 

.

Задача 8.8. Вычислить длину астроиды
(рис. 8.6).

Решение. Астроиду, так же как и циклоиду (задача 8.6) можно построить по точкам (в качестве упражнения сделайте это самостоятельно). Астроида состоит из четырех равных по длине частей. Найдем длину дуги астроиды, расположенной в первой четверти, и умножим ее на четыре. Началу дуги (точке N) соответствует значение параметра , концу дуги (точке M) соответствует значение параметра .

Таким образом, по формуле (8.15) находим длину астроиды:

.

 

3. Вычисление объема тела с известным поперечным сечением.

Предположим, что проекцией некоторого тела на ось OX является отрезок [a; b] (рис. 8.7). Предположим, что в каждой точке x отрезка [a; b] нам известна площадь S(x) поперечного сечения данного тела. Разобьем отрезок [a; b] точками на n частей и проведем в каждой из полученных точек плоскость, перпендикулярную оси OX. При достаточно большом числе разбиений отрезка
[a; b], тело разрезается на большое количество частей (слоев), каждую из которых приближенно можно считать цилиндром. Высота i-го слоя (цилиндра) равна Dx_i = x_i – x_{i – 1}.

За площадь основания i-го цилиндра примем , где – произвольная точка i-го отрезка. Тогда объем i-го слоя приближенно равен , следовательно, объем тела равен

. (8.16)

 

Но сумма в формуле (8.16) является интегральной суммой для определенного интеграла . Таким образом, если функция S(x) является непрерывной на отрезке [a; b], то объем тела с известным поперечным сечением S(x) равен

. (8.17)

 

4. Вычисление объема тела вращения

Предположим, что на промежутке
[a; b] определена непрерывная функция
y = f(x). Найдем объем тела, которое получается при вращении графика данной функции вокруг оси OX на данном промежутке. Любое сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси OX, является кругом (рис. 8.8). Радиус круга в произвольной точке xÎ[a; b] равен значению функции f(x) в этой точке. Следовательно, площадь круга равна . Подставляя S(x) в формулу (8.17), мы получим формулу объема тела вращения:

. (8.18)

 

Задача 8.9. Вычислить объем веретена (рис. 8.9), полученного при вращении вокруг оси OX участка синусоиды, расположенного на промежутке [0; p ].

Решение. Искомый объем тела вращения найдем по формуле (8.18):