Асимптоты графика функции

 

2 Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближаются точки графика функции при их неограниченном удалении от начала координат. При этом график функции может пересекать асимптоту не более чем конечное число раз.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

1 Прямая линия x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) слева (справа), если соответствующий односторонний предел в точке x₀ (ч. 1, гл. 4) равен бесконечности или .

Если прямая линия x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), то, очевидно, что x₀ является точкой разрыва второго рода данной функции.

1 Прямая линия y = y₀ является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x) при ( ), если ( ).

1 Если существуют и конечны пределы

 

и , (6.5)

 

то прямая линия y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при .

1 Если существуют и конечны пределы

и , (6.6)

 

то прямая линия y = k₂x + b₂ является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при .

Очевидно, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных (при k = 0).

Пример 6.4. Найти асимптоты графика функции .

1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции:

, . Так как оба предела равны бесконечности, то прямая линия x = 3 является вертикальной асимптотой графика функции (как слева, так и справа).

2) Очевидно, что , следовательно, прямая линия y = 0 (ось OX) является горизонтальной асимптотой. График данной функции схематически изображен на
рис. 6.7.

Задача 6.5. Найти асимптоты графика функции .

Решение. 1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции (в точке x = 0).

Если , то и, следовательно, .

Если , то . В этом случае предел вычисляем по правилу Лопиталя:

.

Следовательно, прямая линия y = 0 является вертикальной асимптотой графика исходной функции справа.

2) Наклонные асимптоты будем искать, используя формулы (6.5) – (6.6).

,

.

Следовательно, прямая линия y = x + 1 является наклонной асимптотой графика исходной функции (при и при ). График функции постройте самостоятельно (в качестве упражнения).