Необходимое и достаточное условия дифференцируемости нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных . Пусть определена в окрестности точки .

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и – некоторые постоянные, зависящие от и ; и – бесконечно малые функции от и : , .

Данное равенство выражает условие дифференцируемости функции в точке .

Определение 2. Функция , дифференцируемая в каждой точке множества , называется дифференцируемой на множестве .

Пусть – расстояние между точками и . Очевидно, что если и , то , и наоборот, если , то и , а следовательно, и стремятся к нулю. Тогда сумму можно переписать в виде

,

так как , и .

С учетом этого условие дифференцируемости функции в точке можно записать в виде

, (2)

где – расстояние между точками и , причем .

Условия дифференцируемости (1) и (2) функции в точке эквивалентны.

В равенствах (1) и (2) слагаемое , линейное относительно и , называется главной частью приращения функции, так как оставшееся слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , при и .

Теорема 1 (связь дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

► Действительно, по определению функции, дифференцируемой в точке , ее приращение представимо в виде

,

где ; ; , – некоторые числа, не зависящие от и . Следовательно,

,

а это означает, что функция непрерывна в точке . ◄

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемостифункции нескольких переменных). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .

► Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) , имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим

.

Следовательно, в точке существует частная производная .

Аналогично доказывается существование частной производной в точке . ◄

Замечание. Утверждения, обратные утверждениям теорем 1 и 2 неверны, т.е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке .

► Представим полное приращение функции в следующем виде:

Выражение является приращением функции по переменной . Тогда по теореме Лагранжа

,

где .

Аналогично , где .

Следовательно,

.

По условию теоремы частные производные и непрерывны в точке . Тогда

, .

Из последних равенств, согласно определению предела, следует, что:

,

,

где , – бесконечно малые функции при , . Подставляя выражения для , в формулу, имеем:

.

Значит, функция дифференцируема в точке . ◄

Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми.

Пример. Функция непрерывно дифференцируема в любой точке , так как ее частные производные и всюду непрерывны.

 

Вопрос 3 Определённый интеграл функции на отрезке. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.