ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Кинетическая энергия электрона равна 1,02 МэВ. Вычислить длину волны де Бройля этого электрона.

Дано: Ek = 1,02 МэВ =16,2·10-14 Дж, E0 = 0,51 МэВ = 8,1·10-14 Дж.

Найти λ.

Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле , (1) где λ — длина волны, соответствующая частице с импульсом ; — постоянная Планка. По условию задачи кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя: Еk = 2Е0, (2) следовательно, движущийся электрон является релятивистской частицей. Импульс релятивистских частиц определяется по формуле

, (3)

или, учитывая соотношение (2),

; (4)

Подставляя (4) в (1), получим

.

Производя вычисления, получим

.

Ответ: λ = .

 

2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным 10~18 см.

Дано: Rя = 10-15 м, = 6,62·10-34 Дж·c.

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается формулой

;

где — неопределенность координаты; — неопределенность импульса; —постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т. е. , то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом: . Так как , то и . Вычислим неопределенность скорости электрона:

.

Сравнивая полученное значение со скоростью света в вакууме с = 3·108 м/с, видим, что , а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.

3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 1 нм в возбужденном состоянии. Определить минимальное значение энергии электрона и вероятность нахождения электрона в интервале второго энергетического уровня.

Дано: .

Найти: , .

В квантовой механике информацию о движении частиц получают из волновой функции (Т-функция), которая отражает распределение частиц или систем по квантовым состояниям. Эти частицы характеризуются дискретными значениями энергии, импульса, момента импульса; т. е. - функция является функцией состояния частиц в микромире. Решая уравнение Шредингера, получим, что для рассматриваемого случая собственная функция имеет вид

, (1)

 

где = 1, 2, 3, ...; — координата частицы; — ширина ямы. Графики собственных функций изображены на рис. 17. Согласно соотношению де Бройля двум отличающимся знаком проекциям импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси . В результате их интерференции возникают стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным распределением вдоль оси амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть волновая функция (х), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой . Как видно из рис. 17, для значения =1 на ширине ямы укладывается половина длины стоячей волны де Бройля, для =2 — целая длина стоячей волны де Бройля и т. д., т. е. в потенциальной яме могут быть лишь волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

( )

Таким образом, на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн: . (2)

Полная энергия частицы в потенциальной яме зависит от ее ширины и определяется формулой , (3) где — масса частицы; - 1, 2, 3... . Минимальное значение энергии электрон будет иметь при минимальном значении , т.е. при =1. Следовательно,

.

Подставляя числовые значения, получим

.

Вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале от до , равна . Искомую вероятность находим интегрированием в пределах от 0 до :

 

.

Используя соотношение , вычисляем интеграл при условии, что электрон находится на втором энергетическом уровне:

;

Ответ: ,

 

4. Граничная длина волны Кα - серии характеристического рентгеновского излучения для некоторого элемента равна 0,0205 нм. Определить этот элемент.

Дано: .

Найти Z.

Решение. Из формулы Мозли

,

где λ — длина волны характеристического излучения, равная (с — скорость света, v — частота, соответствующая длине волны λ); R — постоянная Ридберга; Z — порядковый номер элемента, из которого изготовлен электрод; — постоянная экранирования; — номер энергетического уровня, на который переходит электрон; — номер энергетического' уровня, с которого переходит электрон (для Кα - серии =1, =2, =1), находим Z:

;

.

Порядковый номер 78 имеет платина.

Ответ: Z = 78 (платина).

 

5. На поверхность воды падает узкий монохроматический пучок γ-лучей с длиной волны 0,775 пм. На какой глубине интенсивность γ-лучей уменьшится в 100 раз!

Дано: λ = 0,775 пм = 7,75·10-13 м, =100.

Найти

Решение. Ослабление интенсивности γ-лучей определяется из формулы , (1) откуда , где — интенсивность падающего пучка γ-лучей; — их интенсивность на глубине ; — коэффициент линейного ослабления. Решая уравнение (1) относительно , находим

; . (2)

Для определения , вычислим энергию γ-квантов , где — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме. Подставляя числовые значения, получим

.

По графику зависимости линейного коэффициента ослабления γ-лучей от их энергии (рис. 18) находим = 0,06 см-1. Подставляя это значение ц в формулу (2), находим

.

Ответ:

 

6. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного распадается в течение одного года.

Дано:

Найти

Решение. Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г , используем соотношение

,

где – постоянная Авогадро; - число молей, содержащихся в массе данного элемента; M - молярная масса изотопа. Между молярной массой изотопа и его относительной атомной массой существует соотношение: М = 10-3 А кг/моль. (2) Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма близка к его массовому числу А, т. е. для данного случая M = 10-3·90 кг/моль = 9·10-2 кг/моль.

Используя закон радиоактивного распада

, (3)

где — начальное число нераспавшихся ядер в момент ; N — число нераспавшихся ядер в момент ; λ — постоянная радиоактивного распада, определим количество распавшихся ядер в течение 1 года:

. (4)

Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением λ = 1n 2/T, получим

. (5)

Подставляя (1) с учетом (2) в выражение (5), имеем

. (6)

Произведя вычисления по формуле (6), найдем

Ответ:

 

7. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции:

 

 

Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергию ядерной реакции , (1), где — дефект массы реакции; с — скорость света в вакууме. Если выражать в а.е.м., то формула (1) примет вид . Дефект массы равен

.

Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов, которые приводятся в справочных таблицах:

; ; ;

Реакция идет с выделением энергии, так как >0:

Ответ: =7,66 МэВ.

 

8. Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстояние между ближайшими атомами меди 0,255 нм. Определить плотность меди и параметр решетки.

Дано: d = 0,255 нм = 2,55·10-10 м, =4, М=бЗ,54·10-3 кг/моль.

Найти: р, а.

Решение. Плотность кристалла меди найдем по формуле , (1) где М — молярная масса меди; — молярный объем. Он равен объему одной элементарной ячейки , умноженной на число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла: . (2)

Число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла, состоящего из одинаковых атомов, найдем, разделив постоянную Авогадро на число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку: . (3) Для кубической гранецентрированной решетки = 4. Подставляя (3) в (2), получим

. (4)

Подставляя (4) в (1), окончательно имеем

.

Расстояние между ближайшими соседними атомами связано "с параметром решетки а простым геометрическим соотношением (рис. 19):

.

Подставляя числовые значения в расчетные формулы, находим

;

.

 

Ответ: ; .

Рис. 19

 

 

9. Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К. Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418 К. Считать, что условие Т выполняется.

Дано: = 0,01 кг, = 10 К, = 20 К, =418 К, = 27·10-3 кг/моль.

Найти Q.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминия от температуры до , будем вычислять по формуле

(1)

где — масса алюминия; с — его удельная теплоемкость, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением . Учитывая это, формулу (1) запишем в виде

(2)

По теории Дебая, если условие Т выполнено, молярная теплоемкость определяется предельным законом

,

где R = 8,31 Дж/(моль·К) — молярная газовая постоянная; — характеристическая температура Дебая; Т — термодинамическая температура. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, получаем

.

Подставляя числовые значения, находим

 

Ответ: = 0,36 Дж.