ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мкКл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке О, находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке А, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов (рис. 4).
Дано: Q1 = Q2== 10-7 Кл, ε =1, r 0=0,08 м, r1=0,05 м.
Найти: Е0 и ЕА.
Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: Е= E1+Е2. (1) Напряженность электрического поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется по формуле Ei = Qi/(4πεε0r2 ). (2)
Чтобы найти напряженность поля в точке О, надо сначала построить векторы напряженностей. Так как заряды Q1 и Q2 положительные, векторы Е1 и E2 направлены от точки Ов сторону от зарядов, создающих это поле (см. рис. 4). Кроме того, по условию задачи заряды равны и расположены на одинаковом расстоянии от точки О.Поэтому с учетом направления векторов из формулы (1) получаем Eo=E1,0—E2,о;но так как E1,0=E2,о,то E0,=0 Рис.4.
В точке А напряженность поля вычисляется по формуле (1); построение векторов проводится аналогично. Результирующий вектор напряженности ЕА является диагональю параллелограмма (см. рис. 4), следовательно, ЕA = Е1+Е2 или ЕA= 2 Е1cosα,так как Е1=Е2. Из рис. 4 имеем cosα=h/ri Напряженность поля в точке А определяем по формуле
Подставив в (3) числовые значения, получим
Ответ: E0= 0, ЕA= 432 кВ/м.
2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С=1нФ, расстояние между обкладками 4 мм. На помещенный между обкладками конденсатора заряд Q=4,9 нКл действует сила F=98 мкН. Площадь обкладки 100 см2. Определить: напряженность поля и разность потенциалов между обкладками, энергию поля конденсаторов и объемную плотность энергии.
Дано: F=9,8*10-5 Н, Q=4,9*10-9 Кл, C=10-9 Ф, S=10-2 м2, d=4*10-3 м, ε =1,
ε0= 8,85*10-12Ф/м.
Найти: E,U,Wэ , ω.
Решение. Поле между обкладками конденсатора считаем однородным. Напряженность поля конденсатора определяется из выражения:.E=F/Q, где F-сила, с которой поле действует на заряд Q, помещенный между обкладками конденсатора. Подставив числовые значения, найдем
Е = 9,8*10-5 Н/4,9*10-9 Кл = 2*104 В/м = 20 кВ/м.
Разность потенциалов между обкладками U = Ed. Подставив числовые значения, получим
U = 2*10-4 В/м* 4*10-3 м = 80 В.
Энергия поля конденсатора
Подставим числовые значения:
70,8 нДж.
Плотность энергии , где V=Sd -объем поля конденсатора; находим
Ответ: E = 20 кВ/м, U=80 Wэ = 70,8 нДж, ω =1,77*10-3 Дж/м3,
3. Найти, как изменятся электроемкость и энергия плоского воздушного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конденсатора и пластины 150 см2, расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.
Дано: ε =1, d0=l0-3м, S=150 см2=15*10-3 м2, d=6*10-3 м, U= 400 В.
Найти: ∆C, ∆Wэ.
Решение. Емкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесении металлической пластины уменьшается расстояние между пластинами от d до (d—d0) (рис. 5),
Используем формулу электроемкости плоского конденсатора: C= S/d, (I) где S -площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. В данном случае получим, что изменение электроемкости конденсатора равно
Подставив числовые значения, получим
Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна , (2) где Е- напряженность поля между обкладками конденсатора. При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на Следовательно, изменение энергии (конечное значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора:
(3)
Напряженность поля Е определяется через градиент потенциала: E =-U/d (4)
где U-разность потенциалов; d - расстояние между обкладками.
Формула (3) с учетом (4) принимает вид
(5),
Подставляя числовые значения в формулу (5),получаем
Ответ: ∆С=4,42 пф; ∆Wэ = —295 нДж.
4. Сила тока в резисторе линейно нарастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.
Дано: t0 = 0, ti = 4 с, I = 0, I1 = 8 А, t2=3 с.
Найти Q.
Решение. По закону Джоуля—Ленца dQ=I2Rdt. (1) Так как сила тока является функцией времени, то I=kt,(2) где k — коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени:
Следовательно, dQ = k2t2Rdt.За первые три секунды выделится количество теплоты
(3)
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим
Q = 4А2/с2*10 Ом*27 с3/3 = 360 Дж.
Ответ: Q = 360 Дж.
5.Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи:
Дано: εi = 1,4 В, ri = 0,3 Ом, Рп = 8 Вт, n = 5.
Найти: I, Рп mах.
Решение. Полезная мощность батареи Pn=I2R, (1) Где R —сопротивление внешней цепи, I— сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону Ома:
I = (2)
Здесь n, εi — ЭДС, а nri— внутреннее сопротивление п последовательно соединенных элементов.
Выразим R из (1): R=Pn/I2R и, подставив это выражение в (2), получим
(3) или I(nri+Pп/I2) = nεi (4)
Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:
.
Решая квадратное уравнение, найдем
Подставляя числовые значения, получим
Для того чтобы определить наибольшую полезную мощность батареи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):
. (5)
Из этой формулы следует; что при постоянных величинах и мощность является функцией одной переменной - внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если dPП /dR=0, следовательно, имеем
;или
(6)
Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует R = nri .Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем
Производя вычисления, найдем
Ответ: I1 =2,66 А, I2=2 А, Рп max=8,16 Вт.
6. Определить концентрацию дырок в полупроводнике германия при такой температуре, когда его удельное сопротивление равно 0,5 Ом*м, если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,40 и 0,20 m2/(B*c)
Дано: = 0,5 Ом*м, = 0,40 м2 В-1 *с-1, = 0,20 м2 В-1 *с-1,
Найти п.
Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников равна
γ = еп(bп + bр), (1)
где Ьп и bp — подвижности электронов и дырок соответственно; е — заряд электрона; п — концентрация свободных электронов, т. е. число их в единице объема. В собственном полупроводнике концентрация дырок равна концентрации свободных электронов.
Учитывая, что удельная проводимость и удельное сопротивление связаны между собой зависимостью γ=1/ρ (2) имеем 1/ρ =еп(Ьп + bp). (3)Определим концентрацию дырок
п=1/(ре(bп + bр)).
Подставив числовые значения величин, найдем
Ответ: n=2,08*1019 м-3.
7.Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при напряженности поля 30 В/м плотность тока j=1,6*10-6 А/м2? Подвижности ионов b+ = 1,4*10-4 м2/(В*с),
b- = 1,2*10-4 м2/(В*с).
Дано: E=30 В/м, j=1,6.10-6 А/м2, b+= 1,4*10-4 м2 В-1*c-1, b- = 1,2*10-4 м2 В-1 *с-1.
Найти п.
Решение. Плотность тока в газе при отсутствии насыщения
j=Qn(b+ + b-)E, (1)
где п — концентрация ионов, т. е. число ионов одного знака в единице объема;
b+ b- -подвижности положительных и отрицательных ионов; Е-напряженность электрического поля в газе; Q — абсолютное значение заряда каждого иона. По условию задачи следует определить концентрацию одновалентных ионов, находящихся в воздухе, т. е. Q=e (е - заряд электрона), тогда
j = en(b+ + b-) Е. (2)
Из выражения (2) определим п:
п =j/eE(en(b+ + b-)).
Подставив числовые значения, найдем
12,8*105 м-3.,
Ответ: n=12,8*105 м-3.