Примеры решения задач

1.В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водо­рода при температуре 27°С. Определить давление и молярную мас­су смеси газов.

Дано: V=2 м³, m_{1 =}4 кг, M₁ = 4*10^-3 кг/моль, m₂=2 кг, M₂=2*10^-3 кг/моль, T = 300 К. Найти: р, М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева, при­менив его к гелию и водороду:

Р₁ V =m₁ RT/M₁ (1) р₂ V = m₂ RT/M₂ (2)

где p₁ -парциальное давление гелия; m₁ -масса гелия; М₁ его молярная масса; V -объем сосуда; Т - температура газа; R = 8,31 Дж/(моль*К)—молярная газовая постоянная; р₂— парци­альное давление водорода; m₂— масса водорода; М₂- его моляр­ная масса. Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимается то дав­ление, которое производил бы газ, если бы он только один нахо­дился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси: р= р₁+р₂. (3).

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в урав­нение (3):

Найдем молярную массу смеси газов по формуле M=(m₁ + m₂ )/(v₁ + v₂), (5)

где v₁ и v₂ — число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов найдем по формулам: v₁=m₁ /M₁ (6) v₂=m₂/M₂. (7) Подставляя (6) и (7) в (5), най­дем

(8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

= 24,93*10⁵ Па = 2493 кПа.

Ответ: р=2493 кПа, М = 3*10^-3 кг/моль.

2. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вра­щательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: т = 2 кг, T = 400 К, M = 2.10^-3 кг/моль.

Найти: ‹ ›,‹ ›

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой, тогда число степеней свободы молекулы водорода

равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия < _i> = kT/2,

где к - постоян­ная Больцмана; Т - термодинамическая температура. Поступатель­ному движению приписывается три (i=3), а вращательному две (i = 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы

‹ ›= , ‹ ›=2/2kT

Число молекул, содержащихся в массе газа, N=vN_A =(m/M)N_A где -число молей; N_A — постоянная Авогадро. Тогда средняя ки­нетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет

‹ › =(m/M)N_{A *}3/2kT=3/2(m/M)RT (1)

где R = kN_А -молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения моле­кул водорода

 

< _вр> = (m/M)RT. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

‹ ›=

=49,86*10⁵ Дж = 4986 кДж;

 

< _вр>= 33,24*10⁵ Дж=3324кДж.

Ответ: ‹ ›= 4986 кДж, < _вр>=2324 кДж.

3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кисло­рода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 °С и давлении 100 кПа.

Дано: V= 2л=2*10^-3 м³ М=32*10^-3 кг/моль, Т=300 К, р=100кПа= 10⁵ Па, d=2,9*100^-10 м.

Найти:< >, Z.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле = 1/( ), (1) где d —эф­фективный диаметр молекулы кислорода; п — число молекул в еди­нице объема, которое можно определить из уравнения p= nkT, от­куда

n = p/(kT)_, (2)где k - постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

< >= (3)

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

Z = 1/2<Z>N, (4)

где N- число молекул кислорода в сосуде объемом 2*10^-3 м³; <Z>- среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде N=nV. (5). Среднее число соударений моле­кулы за 1 с равно <Z> = <v>/< >, (6)где <v> - средняя арифметическая скорость молекулы <v>= (7)

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

Подставляя числовые значения, получим

Z=

< >=

Ответ: Z = 9*10²⁸ с^-1, < >=3,56*10⁵ м.

4. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азо­та, находящегося при температуре T=300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: =1,25 кг/м³, М=28*10^-3 кг/моль, T = 300 К, р=10⁵ Па, d=3,1*10^-10 м.

Найти: D, .

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

D = ⅓< >< > , (1)

Где < >- средняя арифметическая скорость молекул, равная < > = (2) < >-средняя длина свободного про­бега молекул. Для нахождения < > воспользуемся формулой, взятой из решения примера 3:, < >= (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

= ⅓< >< > , (5)

где - плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ П.,Для нахождения воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота - при нормальных ус­ловиях (T₀ = 273 К, =1,01*10⁵ Па) и условиях задачи:

Ро V₀ == (т/М) RT₀ , pV = (m/M) RT. (6)

Учитывая, что о=m/Vо, = m/V, имеем = ₀рТо/( оТ).(7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии [см. (1) и (5)]:

. (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

;

Ответ: D = 4,7*10⁵ м²/c = 5.23*10 ^-5 кг/(м•с).

5. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m= 160г = 16*10^-2 кг, T₁ = 320 К, T₂ = 340 К.

Найти: Q, ∆U, А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

Q = mс_р (Т₂ – Т₁) = (m/M) С_р (Т₂ –T₁). (1)

Здесь с_р и Ср =Мс_p - удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении;

M =32*10^-3 кг/моль — молярная масса кис­лорода. Для всех двухатомных газов

С_Р = ⁷/₂R; С_Р = 3,5*8,31 Дж/(моль*К) = 29 Дж/(моль*К). Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

∆U=(m/M)C_V(T₂ + T₁) (2)

где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов C_v =5/2R C_v = 2,5*8,31 Дж/(моль-К) = 20,8 Дж/(моль*К).

Работа расширения газа при изобарном процессе A= р∆V, где ∆V=V₂-V₁- изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клапейрона—Менделеева.

При изобарном процессе.

pV₁ = (m/M) RT₁ (3) pV₂ = (m/M) RT₂. (4)

Почленным вычитанием выражения (4) из (3) находим p(V₂- V₁) = (m/M) R (T₂- T₁),

следовательно,

A = (m/M)R(T₂-T₁). (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), по­лучаем:

;

Ответ: Q=2900 Дж, ∆U = 2080 Дж, А =840 Дж.

6. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б)адиабатно

Дано: V₁ =10 ^-3 _м³, V₂=2*10^-3 м³, p=0,8*10⁵ Па, М=40*10^-3 кг/моль, i=3.

Найти ∆U.

Решение: Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону количество, теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии ∆U и на внешнюю механическую работу А : Q = ∆U + A. (I)Величину ∆U можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме Cv и изменение температуры ∆T: ∆U=mc_v ∆T. (2) Однако удоб­нее изменение внутренней энергии ∆U определять через молярную теплоемкость Cv, которая может быть выражена через число степеней свободы: (3)

Подставляя величину c_v из формулы (3) в (2),получаем

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа согласно первому закону термодинамики часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии ∆U, которая выражается формулой (4). Найти ∆U для аргона по формуле (4)нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для начального и конечного состояний газа:

pV₁ = (m/M) RT₁ и pV₂ = (m/M) RT₂

 

или

p(V₂ – V₁) = (m/M) R(T₂ – T₁) (5)

 

Подставив (5) в формулу (4), получим

∆U = (i/2) p(V₂ – V₁) (6)

 

Это уравнение является расчетным для определения ∆U при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешне средой не происходит, поэтому Q = 0. Уравнение (1) запишется в виде ∆U + А = 0. (7) Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа ( знак минус перед ∆U):

А = - ∆U. (8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

А = , (9)

где γ – показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: .

Для аргона – одноатомного газа (i = 3) имеем γ = 1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

∆U = . (10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона – Менделеева для данного случая p₁V₁ = (m/M) RT₁ получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

∆U = . (11)

 

Подставляя числовые значения в (6) и (11), получим

а) при изобарном расширении

∆U= *0,8*10⁵ Па *10^-3м³= 121 Дж;

б) при адиабатном расширении

∆U = = - 44,6 Дж

 

Ответ: a) AU=121 Дж; б) AU = — 44,6 Дж.

7. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работаю­щей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Т= 500 К, Т₀=400 К, Q= 1675 Дж.

Найти: η, N.

Решение: КПД машины определяется по формуле

η= (Т – Т₀)/Т (1) или η = A/Q. (2)

Из выражений (2) и (1) находим

A = ηQ = (Т — Т₀)/Т.

Произведем вычисления:

η = = 0,2;

А= 0,2*1675Дж = 335 Дж.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины 335 Вт.

Ответ: η = 0,2, N = 335 Вт.

8. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Пока­зать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды Т₁, холодной Т₂, а тем­пература смеси . Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

mc(T₂ — ) = mc( —Т₂), или Т₁— = —Т₂,

откуда

= (Т₁+ Т₂)/2. (1)

 

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

.

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

или с учетом соотношения (1) имеем

так как (T_l + T₂)²>4T_lT₂, то ∆S>0.

9. Вычислить эффективный диаметр молекул азота, если его крити­ческая температура 126 К, критическое давление 3,4 МПа.

Дано: Т_кр=126 К, p_кр = 3,4*10⁶ Па.

Найти d.

Решение. Азот, согласно условию задачи, должен подчиняться урав­нению Ван-дер-Ваальса:

Постоянную b в уравнении Ван-дер-Ваальса с достаточной степенью точности считают равной учетверенному собственному объему 1 мо­ля газа. В 1 моле газа находится 6,02* 10²³ молекул (N_A = 6,02Х10²³ моль^-1), следовательно, объем одной молекулы равен

V = ,

откуда

d = .

Постоянная b = T_KpR/(8 p_кр), тогда

 

Ответ:d=3,1*10^-10м.

контрольная работа №2

1. В баллоне емкостью 0,5 м³ находится 4 кг водорода и 6,5 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 18 °С.

2. В баллоне емкостью 30 л находится сжатый воздух при 17 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 2*10⁵ Па. Определить массу выпущенного воздуха. Процесс считать изотермическим.

3. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,2 м, нахо­дится 80 г азота. До какой температуры можно нагреть сосуд, если его стенки выдерживают давление 7*10⁵ Па?

4. При какой температуре находится газ, если при нагревании его на 20° при постоянном давлении объем увеличился в два раза? Для каких газов это возможно?

5. В баллоне под давлением 1 МПа находится газовая смесь из кислорода и азота. Считая, что масса азота составляет 80 % от массы смеси, определить парциальное давление отдельных газов.

6. Определить молекулярную формулу аммиака, если при давле­нии 103 740 Па и температуре 20 °С его плотность равна 0,736 кг/м³. Учесть, что элементы, из которых образуется аммиак, — это азот и водород.

7. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, со­держащий 35 г воды, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара выдерживают давление 2*10⁷ Па. Объем шара 1 л.

8. В пустой сосуд, объем которого 5 дм³, впустили 3 дм³ азота под давлением 250 кПа и 4 дм³ водорода под давлением 50 кПа. Ка­ково давление образовавшейся смеси?

9. Какой объем при нормальных условиях занимает смесь 4 кг кислорода и 2 кг азота?

10. При температуре 27 °С и давлении 12 *10⁵ Па плотность смеси водорода и азота 10 г/дм³. Определить молярную массу смеси.

11(31). Определить среднюю кинетическую энергию вращатель­ного движения одной молекулы двухатомного газа, если суммарная кинетическая энергия молекул одного киломоля этого газа 6,02 МДж.

12(32). Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью 2 л, если средняя квадратичная скорость движения молекул 500 м/с, а давление на стенки сосуда 10³ Па?

13(33). Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,25 г водорода при темпе­ратуре 13 °С.

14(34). Давление идеального газа 2 мПа, концентрация молекул 2*10¹⁰ см^-3 Определить среднюю кинетическую энергию поступа­тельного движения одной молекулы и температуру газа.

15(35). Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при температуре б00 К.

16(36). Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 5*10^-21 Дж. Концентрация молекул 3*10¹⁹ см^-3. Определить давление газа.

17(37). В сосуде емкостью 200 см³ находится газ при температуре 47 °С. Из-за утечки газа из колбы просочилось 10²¹ молекул. Насколько снизилось давление газа в сосуде?

18(38). Сколько молекул газа находится в сосуде емкостью 1,5 л при нормальных условиях?

19(39). Определить концентрацию молекул идеального газа при температуре 450 К и давлении 1,5 МПа.

20(40). Определить температуру идеального газа, если средняя кинетическая энергия поступательного движения его молекул 3,2Х10^-19 Дж.

21. В сосуде емкостью 10 л находится 2 г кислорода. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.

22. Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота, если плотность разреженного газа 0,9*10^-6 кг/м³.

23. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 1,25 м, если температура газа 50 °С?

24. Вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при давлении 1*10⁵ Па и температуре 10 °С.

25. По условию предыдущей задачи вычислить коэффициент диффузии воздуха.

26. Во сколько раз коэффициент диффузии молекул водорода больше коэффициента диффузии молекул азота? Температура и давление газов одинаковые.

27. Сколько соударений в секунду в среднем испытывают моле­кулы азота, находящиеся при нормальных условиях?

28. Определить коэффициент внутреннего трения углекислого га­за при температуре 300 К.

29. Сосуд емкостью 10 л содержит водород массой 4 г. Опреде­лить среднее число соударений молекул в секунду.

30. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях 1,91*10^-4 кг/(м*с). Какова средняя длина свободного пробега молекул кислорода при этих условиях?

31(41). При нагревании 1 кмоля азота было передано 1000 Дж теплоты. Определить работу расширения при постоянном давлении.

32(42). Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить углекислому газу массой 220 г, чтобы нагреть его на 20 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.

33(43). Какое количество теплоты нужно сообщить 1 кмолю кис­лорода, чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарном?

34(44). Азот массой 2 кг, находящийся при температуре 288 К, сжимают: а) изотермически; б) адиабатно, увеличивая давление в 10 раз. Определить работу, затраченную на сжатие газа, в обоих случаях.

35(45). При каком процессе выгоднее производить расширение кислого газа: адиабатном или изотермическом, если объем уве­нчивается в 2 раза? Начальная температура в обоих случаях оди­наковая.

36(46). Найти работу и изменение внутренней энергии при адиа­батном расширении 1 кг воздуха, если его объем увеличился в 10 раз. Начальная температура 15 °С.

37(47). Определить количество теплоты, сообщенное 20 г азота, если он был нагрет от 27 до 177 °С Какую работу при этом совершит газ и как изменится его внутренняя энергия?

38(48). Во сколько раз увеличится объем 1 моля водорода при изотермическом расширении при температуре 27 °С, если при этом бы­ла затрачена теплота, равная 4 кДж.

39(49). Водород, занимающий объем 5 л и находящийся под дав­лением 10⁵ Па, адиабатно сжат до объема 1 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии водорода.

40(50). Газ, занимающий объем 20 л под давлением 1 МПа, был изобарно нагрет от 323 до 473 К. Найти работу расширения газа.

41. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого 0,2. Каков будет КПД этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?

42. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, КПД которого 300 %. Каков будет КПД тепловой машины, работаю­щей по прямому циклу Карно?

43. Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагревателя 500 К, холодильника 300 К.

44. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, 480 К, температура холодильника 390 К. Какова долж­на быть температура нагревателя при неизменной температуре хо­лодильника, чтобы КПД машины увеличился в 2 раза?

45. За счет 1 кДж теплоты, получаемого от нагревателя, ма­шина, работающая по циклу Карно, совершает работу 0,5 кДж. Тем­пература нагревателя 500 К. Определить температуру холодильника.

46. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 200 Дж. Температура нагревателя 375 К, холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагрева­теля.

47. Определить, на сколько процентов изменится КПД прямого цикла Карно, если температура нагревателя 894 К, а температура хо­лодильника уменьшилась от 494 до 394 К.

48. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 0,25 теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 500 К.

49. Какая часть теплоты, полученной от нагревателя, отдается холодильнику при прямом цикле Карно, если температура нагревателя 500 К, температура холодильника 125 К?

50. Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если температуры характерных точек равны Т₁ = 370 К, Т₂ = 600 К, Тз = 500 К, Т₄ = 350 К. Решение пояснить диаграммой p-V.

51(51). Определить изменение энтропии 4 кг свинца при охлаждении его от 327 до 0° С.

52(52), Найти изменение энтропии при нагревании 1 кг воды от 0 до 100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.

53(53). Как изменится энтропия при изотермическом расширении 0,1 кг кислорода, если при этом объем его изменится от 2,5 до 10 л?

54(54). Определить изменение энтропии при изобарном нагрева­нии 0,1 кг азота от 17 до 100 °С.

55(55). Лед массой 100 г, находящийся при температуре — 30 °С, превращается в пар. Определить изменение энтропии при этом.

56(56). Железо массой 1 кг при температуре 100 °С находится в тепловом контакте с таким же куском железа при 0°С. Чему будет равно изменение энтропии при достижении равновесной температуры 50 °С? Считать, что молярная теплоемкость железа равна 25,14 Дж/К.

57(57). Водород массой 10 г изобарно расширяется, при этом объем его увеличивается в 2 раза. Определить изменение энтропии водорода при этом процессе.

58(58). Определить изменение энтропии, происходящее при смеши­вании 5 кг воды, находящейся при температуре 280 К, и 8 кг воды, находящейся при температуре 350 К.

59(59). Объем гелия, масса которого 2 кг, увеличился в 5 раз: а) изотермически, б) адиабатно. Каково изменение энтропии в этих случаях?

60(60). Определить изменение энтропии 1 моля идеального газа при изохорном, изобарном и изотермическом процессах.

61. Поправки для воды в уравнении Ван-дер-Ваальса равны а=0,566 Н*м⁴/моль², b= 3,06*10^-5 м³/моль. Определить критиче­ский объем для 1 кг воды.

62. По условию задачи 61 определить значения критического давления и критической температуры.

63. Вычислить постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если его критическая температура 126 К, а критическое дав­ление 3383 кПа.

64. Найти критические параметры неона, если его постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса а = 0,209 Н*м⁴/моль², b =1,7*10^-5 м³/моль.

65. Азот массой 14 кг занимает объем 0,5 м³ при температуре 0°С.Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти на сколько нужно изменить температуру газа, чтобы его давление увеличилось вдвое.

66. В сосуде, объем которого 10 л, находится 360 г водяного пара при температуре 470 К. Вычислить давление пара, используя уравнение Ван-дер-Ваальса.

67. По условию задачи 66 определить внутреннее давление во­дяного пара и собственный объем молекул пара.

68. Определить эффективный диаметр молекулы газа, для кото­рого критическая температура равна 282,7 К, поправка в уравнении Ван-дер-Ваальса а = 45,3*10^-2 Н*м⁴/моль².

69. По уравнению Ван-дер-Ваальса определить давление, под которым находится 1 кмоль азота в сосуде объемом 2,5 м³, если его температура 310 К.

70. Найти постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для угле­кислого газа, если критическая температура 304 К, а критическое давление 7370 кПа.