Нейтронно-физических расчётов
Введение. Основой использования алгоритмов и программ нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов является проверка правильности и точности результатов их практического применения. Проверка осуществляется путём расчёта специальных тестовых или контрольных задач – бенчмарков (benchmarks) проверяемой программой. Бенчмарки широко используются как при работе с уже готовыми программами, так и при создании новых алгоритмов и программ. В процессе проверки работающих программ они применяются при решении следующих задач:
• верификации корректности работы программ и полученных по ним результатов;
• верификации корректности исходных данных, используемых в программах;
• объективного сравнения различных расчетных алгоритмов, заложенных в программы;
• подтверждения, что пользователь правильно работает с программой.
Для каждого типа решаемых задач используются свои специфические бенчмарки, которые покрывают широкую область расчетных задач обоснования проектных характеристик ядерных реакторов различных типов: стационарные расчеты (ячеечные, покассетные, потвэльные), расчеты выгорания и оптимизации загрузки, динамические расчеты (с обратными связями и без них) нормальных режимов работы реакторов и аварийных ситуаций. Таким образом, в целом система бенчмарков предназначена для верификации алгоритмов нейтронно-физических расчетов, оценок погрешностей и покомпонентных ошибок инженерных программ, наконец, для использования в обучении. Важным достоинством системы является полная внутренняя согласованность исходных данных и расчетных моделей для всех бенчмарков.
Второе направление использования вычислительных бенчмарков – развитие алгоритмов и программ. Они позволяют определить места, требующие улучшений и уточнений. Развитие новых компьютерных программ для анализа ядерных реакторов требует сравнения их результатов с оцененными reference-результатами, полученными для хорошо, однозначно определенных задач. Это сравнение позволяет объективно оценить методическую, в том числе и покомпонентную, погрешность проектных программ.
Наконец, в образовательном аспекте использование бенчмарков в обучении позволит глубже изучить такие важные понятия современных вычислительных методов, как погрешность аппроксимации, сходимость к асимптотическому решению и другие, освоить их на практике.
Бенчмарки для контроля программ расчёта реакторов ВВЭР. На сегодняшний день основой атомной энергетики России являются реакторы ВВЭР с последующим переходом к реакторам на быстрых нейтронах.
Здесь рассмотрены задачи в основном для двух существующих типов реакторов: ВВЭР-440 и ВВЭР-1000.
Повышение требований к точности расчетов и увеличение производительности ЭВМ приводит к постепенной замене программ, основанных на упрощенных, инженерных методах, на программы, использующие математически последовательные алгоритмы. Важность вычислительных бенчмарков для реакторов ВВЭР хорошо осознается всеми специалистами, поэтому на их создание и получение прецизионных (reference) решений направлены большие усилия, что отражено в большом количестве публикаций, представленных, прежде всего, в трудах Симпозиумов AER и на ежегодных семинарах «Нейтроника».
Для верификации алгоритмов и программ нейтронно-физического расчета в ГНЦ РФ ФЭИ была создана система взаимосвязанных математических бенчмарков для широкого круга нейтронно-физических расчетов ВВЭР Для большинства тестовых задач получено два независимых решения. Охватываемый системой круг проблем очень широк. Он включает 36 различных задач для каждого из двух типов реакторов ВВЭР. Для каждого бенчмарка очередь для задач нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов, часть задач включает теплогидравлические обратные связи, хотя и весьма упрощенные. Система бенчмарков является результатом коллективных усилий десяти специалистов из пяти российских организаций, вовлеченных в исследования, развитие и проектирование существующих и будущих реакторов ВВЭР и является дополнением уже существующих нейтронно-физических бенчмарков для ВВЭР.
Бенчмарки представляемой системы являются реалистичной моделью для ожидаемого поведения программ расчета реакторов (зависимость от шага сетки, параметров итерационных процессов и других вычислительных параметров), хотя используют они несколько огрубленные по сравнению с реальными расчётные модели и исходные данные. Получаемые с их помощью численные результаты соответствуют физическим и вычислительным тенденциям, известным для реакторов ВВЭР. Они являются представительными для оценки методической точности расчетных программ в том смысле, что они не завышают и не занижают методическую погрешность, в отличие от ряда других математических тестов, моделирующих заведомо более жесткие расчетные условия, чем требуется в реальных расчетах, и поэтому дающих преувеличенное представление о погрешностях инженерных программ.
Этапы разработки бенчмарков. Каждая тестовая задача разделена на 4 последовательных этапа её решения. На этапе 1 формулировалась исходная ситуация (Benchmark Source Situation, BSS). На этапе 2 формулировались расчетные задачи (Benchmark Problem, BP). На этапе 3 вычислялись решения с разумной точностью (Reasonable Accuracy Solutions, RAcS. На этапе 4 вычислялись reference-решения (Reference Solution – RefS.
Отличительные черты системы бенчмарков. Созданные бенчмарки образуют набор взаимосвязанных тестовых задач, т.е. систему бенчмарков. Слово “система” в данном случае использовано только для подчеркивания взаимосвязанности по данным и не несет значения “системы”, т.е. компьютерной оболочки, автоматизации средств доступа и т.п.
1. Все бенчмарки, относящиеся к одному реактору, используют общие геометрические (расположение топлива) данные и макроконстанты. Для каждого типа активной зоны рассмотрены только два состояния АЗ – начальная загрузка (FC, fresh core) и равновесная зона (EC, equilibrium core). Соответственно во всем наборе задач (для каждого типа АЗ) использованы только три набора сечений – два для зоны на полной мощности (H, hot) и один (начальная загрузка ВВЭР-440 и равновесная загрузка ВВЭР-1000) для «холодной» зоны, находящейся на мощности 10% от номинала. Эти три набора макроконстант используются во всем наборе статических и динамических бенчмарков для данной АЗ.
2. Во всех задачах отражатель включен в геометрическое описание.
3. Созданы микроскопические данные для использования в бенч-марках для выгорания.
4. Созданы пространственно-зависимые сечения, адекватно моделирующие изменение физических свойств по высоте для всех соответствующих бенчмарков.
5. Строго математически сформулированы бенчмарки для пространственно-зависимой кинетики с трехмерными пространственно распределенными обратными связями по температуре и плотностью теплоносителя, температуре топлива, концентрации борной кислоты.
6. Математически строго сформулированы бенчмарки по оптимизации загрузки активной зоны и найдены их точные решения.
Бенчмарки для стационарных расчётов активной зоны.Бенчмарки этого раздела представляют собой решение задач на расчёт 
с вакуумными граничными условиями для двухгрупповых уравнений диффузии без рассеяния вверх. Для «равновесной» активной зоны сечения зависят от высоты. Для потвэльных расчетов геометрия кассеты включает как регулярную гексагональную структуру для твэлов, так и нерегулярную (пятиугольники ТВС на периферии). В качестве основных результатов рассматриваются и распределение мощности в кассетах.
Раздел содержит 18 бенчмарков. Восемь в трехмерной геометрии были созданы для верификации программ и методов для стационарного расчета активной зоны. Восемь для потвэльного расчета и два для «свежей» загрузки были сформулированы только в двумерной геометрии. Бенчмарки в двумерной геометрии дают дополнительные возможности верификации методов либо в отдельных задачах, когда 2D-геометрия даёт приемлемые результаты, либо когда требуется очень высокая точность reference-решения.
Решения для двумерной и трехмерной геометрии были получены с помощью программ HEXZ и MAG. Решения по программе HEXZ рассматриваются как RAcS, а решения по программе MAG – как reference-решения. Последние были получены с помощью учащения сетки и представляют собой асимптотические решения, т.е. решения при стремлении шага сетки к нулю. Для потвэльных бенчмарков RAcS были получены с использованием программ MAG и PERMAK. Для всех бенчмарков данного раздела два независимых решения находятся в очень хорошем согласии, отличается менее чем на 0.1 %, покассетные энерговыделения менее чем на 1%, потвэльные распределения имеют различия порядка 1%.
Бенчмарки для гомогенизации.Бенчмарки этого раздела являются задачами на в двумерной шестигранной кассете с условиям отражения на границе. Исходными данными являются описание геометрии кассеты и ядерные плотности. Раздел состоит из двенадцати бенчмарков, соответствующих трем состояниям по выгоранию (свежему топливу, топливу после одной и двух микрокампаний). В качестве ожидаемых результатов требуются , гомогенизированные сечения для диффузионного расчета и потвэльные мощности. Концентрации для топлива после одной и двух микрокомпаний были получены с помощью программы WIMS для 300 и 600 эффективных суток. Решения, полученные с помощью программ МСU (RefS) и WIMS (RAcS) хорошо согласуются между собой.
Бенчмарки для расчёта кампании реактора.Бенчмарки этой секции были созданы для верификации методов и алгоритмов при расчете выгорания. Они включают задачи для выгорания активной зоны, выгорания в отдельной сборке и оптимизации загрузки.
Четыре бенчмарка для выгорания в активной зоне были созданы по аналогии с задачей BSS-19 из работы [6]. Реактор описывается двухгрупповыми уравнениями диффузии в двумерной гексагональной геометрии. Макроскопические сечения для каждого момента времени получаются из уравнений выгорания, коэффициенты которых вычисляются на основе пространственных распределений ядерных концентраций и микроскопических сечений делящихся материалов, ксенона, бора и выгорающих поглотителей. Микроскопические сечения делящихся изотопов либо не зависят от времени либо зависят линейно от выгорания. Критическое состояние активной зоны получается подбором критической концентрации раствора борной кислоты, измеренной в ppm. Концентрация ксенона – равновесная. Длительность микрокампании определяется требованием равенства нулю концентрации борной кислоты в конце топливного цикла. Два реальных начальных цикла использованы при формулировке задач для уранового топлива.
В качестве требуемых результатов рассматриваются:
· концентрации борной кислоты, обеспечивающие критичность;
· распределение покассетных мощностей в начале и конце микрокампаний;
· средние покассетные выгорания в конце микрокампаний;
· средние для типов кассет ядерные концентрации в конце микрокампаний;
· длина микрокампаний в эффективных сутках;
· критические концентрации бора и мощности кассет для реактора без ксенона с введенными органами СУЗ в начале 1-го и 2-го циклов;
· эффекты реактивности для реактора без ксенона с введенными СУЗ в конце микрокампании.
Два независимых «стандартных» решения, полученные по программам MAG и HEXZ, согласуются с приемлемой точностью.
Для бенчмарка выгорания в кассете ВВЭР-440 есть сравнение с экспериментальными данными. Результаты расчетов ядерных концентраций как функция выгорания сравниваются с результатами радиохимического анализа. Ядерные концентрации рассматриваются как основные ожидаемые результаты. Решения задачи получены по программам WIMS и TRIFON.
Два бенчмарка для ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 с урановым топливом были созданы для оптимизации перестановки ТВС. Каждый включает две оптимизационные задачи. В первой требуется найти 10 лучших загрузок (расстановок ТВС) обеспечивающих минимальные значения коэффициента неравномерности в начале второго топливного цикла при ограничении на запас реактивности (величину ). Во второй задаче требуется найти 10 лучших загрузок с максимальным при ограничении, что коэффициент неравномерности в начале топливного цикла не превосходит 1.45. Рассматриваются задачи частичной оптимизации, т.е. позиции некоторых (свежих) ТВС заданы. Благодаря этому общее количество возможных вариантов около 15000, что позволяет применить прямой перебор всех вариантов для получения точного решения. Исходные данные были взяты из вышеописанных бенчмарков для расчета выгорания в активных зонах.
Получены два независимых решения. Для решения двухгрупповой нейтронной задачи использовалась программа MAG. «Точное» решение было получено прямым перебором, альтернативное с помощью одной из версий генетического алгоритма.
Бенчмарки для кинетики и динамики.Двенадцать бенчмарков были созданы для трехмерных задач пространственной кинетики без обратных связей. В них решается двухгрупповое нестационарное уравнение диффузии с заданной зависимостью макросечений от времени и с шестью группами запаздывающих нейтронов. Геометрия задач соответствует использованной в стационарных бенчмарках. Макросечения подготовлены для «холодной» зоны (10% мощности). Нестационарные процессы инициируются движением СУЗ. Рассмотрены два варианта движения СУЗ – мгновенное и движение с конечной скоростью.
Два независимых решения получены по программам RAINBOW и MAG. Большая часть полученных решений должна рассматриваться как «стандартные», RАcS. Однако для одной из задач решение, полученной по программе MAG с учащением пространственной и временной сеток может рассматриваться как RefS, reference-решение с точностью порядка 1%.
Еще двенадцать бенчмарков были созданы для верификации алгоритмов и программ решения трехмерной пространственной кинетики с обратными теплогидравлическими связями. Геометрия - та же что и в предыдущих задачах. Задана линейная зависимость макросечений от теплогидравлических параметров, а именно от квадратного корня из температуры топлива, температуры теплоносителя и плотности теплоносителя.
Система бенчмарков ориентирована на нейтронику и не предполагает использования реальных теплофизических программ и данных. Для температуры топлива 
и теплоносителя 
в каждой точке активной зоны заданы два дифференциальных уравнения
,
,
где 
, с заданными теплофизическими константами 
и скоростью движения теплоносителя 
, которые могут рассматриваться и решаться чисто формально, хотя константы подобраны так, что физика процессов сохраняется.
Нестационарные процессы инициируются движением СУЗ. Рассмотрены два варианта движения СУЗ – мгновенное и движение с конечной скоростью. Предполагается критичность активной зоны в начальный момент времени t=0. Таким образом, для получения начального распределения нейтронов и параметров кинетики необходимо решить связанные уравнения для нейтронов и теплогидравлических связей. В качестве обязательных результатов требуются следующие величины:
- эффективный коэффициент размножения в момент t=0;
- полная нейтронная мощность от времени;
- нормированное покассетное распределение мощности в заданные моменты времени;
- пространственное распределение температур топлива и теплоносителя в заданные моменты времени.
Два независимых «стандартных» решения получены по программам RAINBOW и MAG.
Наконец, 18 бенчмарков были созданы для переходных процессов, инициированных событиями вне активной зоны. Этот тип проблем характеризуется численными свойствами, существенно отличающимися от задач с движением СУЗ. Решаемые уравнения подобны описанным ранее для движения СУЗ с обратными связями, но дополнительно к предыдущему макросечения линейно зависят от концентрации бора в борной кислоте. Плотность борной кислоты на нижней границе активной зоны задается функцией от времени. Два независимых «стандартных» решения получены по программам RAINBOW и MAG и согласуются в пределах 20%.
Заключение.Создана согласованная система взаимосвязанных математических бенчмарков для широкого круга нейтронно-физических расчетов ВВЭР. Для каждой задачи получено два независимых решения. Эти решения хорошо согласуются с результатами расчетов по аттестованным программам. Система доступна на СD и представлена в трудах научных конференций. Перечень бенчмарков приведен в приложении 1. Вследствие реалистичности, в частности, учета пространственной зависимости макроконстант, описание бенчмарков даже с минимальной степенью детальности требует многих страниц текста и поэтому в пособии не приводится. Для более широкого ознакомления могут быть использованы материалы сайтов www.kfki.hu и www.neutronika.ru.
Изложенные в этом разделе материалы были подготовлены И. Р. Сусловым. Цель этого проекта заключается в создании всестороннего взаимосвязанного набора вычислительных бенчмарков для обеспечения контроля расчётов реакторов ВВЭР.
Приложение 1