Погрешности нейтронно-физического расчёта
Постановка задачи. Известно, что в общем случае погрешности характеризуют достигнутый уровень знаний в той области, для которой они получены. Исследование погрешностей является необходимым и даже закономерным процессом продвижения к истине, способствующим повышению уровня знаний. Основой этого процесса в области расчёта ядерных реакторов является понимание структуры исследуемой погрешности ПС с последующим сравнением достигнутой и требуемой точностей расчёта нейтронно-физических параметров. Рекомендованный Ростехнадзоромподход к верификации ПС по направлению «нейтронная физика» определяет эту проблему следующим образом:
«В качестве меры погрешности расчета используются отклонения рассчитываемого параметра от измеренной величины, совокупности измеренных величин, которые подвергаются первичной обработке, от величины, рассчитанной с помощью другого (аттестованного) ПС».
И далее, на примере применения статистических методов обработки: «Значение погрешности может являться результатом обработки отклонений рассчитанных величин от сравниваемых в соответствии с определенными алгоритмами (например, алгоритмами математической статистики и т.п.) и может характеризоваться принятыми при этом параметрами (например, среднеквадратичным отклонением, доверительной вероятностью, доверительным интервалом и т.д). При определении погрешности следует учитывать погрешность величины, с которой производится сравнение. В этом определении принимается, что для оценки качества ПС рекомендуется оценивать методическую и константную компоненты погрешности. Эти компоненты погрешности могут оцениваться как совместно, так и по отдельности. Оценка методической и константной компонент погрешности может быть выполнена путём сравнения результатов расчетов с соответствующими результатами, полученными по реперным ПС.
В настоящее время, применительно к этой проблеме, можно считать, определились два уровня определения расчётных величин нейтронно-фи-зических характеристик реактора:
· Инженерный уровень расчёта и проектирования ядерного реактора, в котором используются средние величины ядерно-энергети-ческих констант и наиболее простые методы решения уравнения переноса нейтронов (в частности, диффузионное приближение).
· Прецизионный уровень расчёта нейтронно-физических характеристик, прежде всего необходимый для обеспечения ядерной бе-зопасности и, главное, для безопасного управления ядерным реактором.
На каждом из этих уровней расчётная погрешность нейтронно-физических характеристик имеет две составляющие, соответствующие двум основным составляющим расчёта: подготовке констант и применению метода решения, и зависит также от величины неопределённостей, существующих в исходных данных расчётной модели реактора. В состав каждой неопределённости входят неизбежные при изготовлении твэлов, чехлов ТВС, другого оборудования и т. п. технологические погрешности (величины допусков и посадок и пр.), неполное знание о которых не даёт права исключать их из рассмотрения и требует в ряде случаев введения необходимых коэффициентов запаса.
Константная погрешность есть неточность используемых в расчётах ядерно-физических констант (ЯФК), которая состоит из экспериментальной погрешности измерений ЯФК и расчётной погрешности обработки результатов измерений при подготовке файлов оцененных данных. Структура экспериментальной части константной погрешности и алгоритм получения оцененных данных изложены в работе Л.Н.Усачёва «О едином определении погрешности ядерных данных». Это статистическая погрешность, зависящая от количества измерений для одной точки, погрешность стандарта измерения и некоторая, неизвестная самому экспериментатору, систематическая погрешность, приводящая к сдвигу (смещению) измеряемой величины. Последняя характеризует уже не точку, а всю измеряемую кривую в целом.
Информация о погрешностях, проистекающих от статистических погрешностей каждой экспериментальной работы, сводится в соответствующие ковариационные матрицы. Ковариационная матрица является матрицей коэффициентов корреляции между погрешностями и содержит в себе квадраты погрешностей параметров (диагональные члены) и ковариации погрешностей параметров (недиагональные члены). Ковариационная матрица предназначена для оценки точности расчётных предсказаний нейтронно-физических характеристик реакторов (в т.ч. реакторов на быстрых нейтронах). Она также используется для корректировки групповых констант по данным макроскопических и интегральных экспериментов. Дальнейшая обработка констант заключается в параметризации методом наименьших квадратов экспериментальных кривых отдельных работ, или группы работ (т. е. экспериментов), выполненных одной методикой. Для её осуществления определяется функция 
, параметры которой определены из условия наилучшего в смысле метода наименьших квадратов описания совокупности экспериментальных точек, и производится подготовка функционала 
от этой функции. Алгоритм получения дисперсий, т. е. квадратов погрешностей функционалов от параметризованных кривых, заключается в нахождении коэффициентов чувствительности функционала к изменению параметров, т. е. частных производных по параметрам 
, совокупность которых составляет вектор 
. Дисперсия этого функционала, т. е. квадрат определяемой погрешности 
, выражается общей формулой:
.
Таким образом, этот алгоритм из подробной информации о погрешности, содержащейся в библиотеке ковариационных матриц погрешностей, выделяет искомую величину погрешности на уровне микро-данных. В итоге, для получения среднего значения функционала и его дисперсии может быть применен метод наименьших квадратов. К полученной погрешности добавляется также расчётная погрешность усреднения ЯФК при получении многогрупповых констант инженерного уровня путём их свёртки в заданное число энергетических групп с применением необходимых алгоритмов их обработки, имеющих свою, уже методическую погрешность. Поэтому к получению величины этой погрешности применимы обычные алгебраические оценки погрешностей используемых алгоритмов.
В итоге единое определение погрешности ядерных данных обеспечивает заданную точность подготовки микро- и, в итоге, макроконстант для расчёта нейтронно-физических характеристик реактора. В качестве примера ниже приводятся оцененные константные составляющие расчетных погрешностей модели реактора БН-600 с активной зоной 01М2 и БН-800.
Корректировка на результаты реакторно-физических экспериментов понижает константную составляющую погрешности уровня микро-данных (а система констант БНАБ-93 была получена прямой переработкой файлов оцененных данных ФОНД-2.2 без использования ковариационных матриц погрешностей), что подтверждают приведенные в таблице результаты расчётов.
Таблица. Оцененные константные составляющие расчетных погрешностей для реакторов БН-600 и БН-800.
| Модель реактора | НФХ | без учета макроэкспер. (уровень микроданных) | с учетом макроэкспериментов. |
| БН-600 | Кефф | 1.5% | 0.3% |
| АЗ | 5% | 4% | |
| КС-1 | 4% | 3% | |
| КС-2 | 7% | 3.5% | |
| НПЭР | 0.3% Δk/k | 0.2%Δk/k | |
| Выгорание | 0.2% Δk/k | 0.1%Δk/k | |
| Допплер | 11% | 10% | |
| БН-800 | Кефф | 1.9% | 0.5% |
| АЗ | 5% | 4% | |
| КС | 4% | 3% | |
| НПЭР | 0.3% Δk/k | 0.2% Δk/k | |
| Выгорание | 0.2% Δk/k | 0.15% Δk/k | |
| Допплер | 11% | 10% |
Методическая погрешность в общем случае является погрешностью применяемых методов расчёта и их приближений для решения уравнения переноса нейтронов. В этом аспекте она является многоуровневой и, в том числе, зависит от величины константной погрешности. Верхним уровнем этой погрешности в расчётном определении физических параметров реактора следует считать разницу между точным и приближённым решениями, как абсолютную, так и относительную. К нижнему уровню методической погрешности следует отнести итоговую погрешность заложенного в программу алгоритма расчёта нейтронно-физических характеристик ядерного реактора, которая определяется как результирующая совокупность абсолютных и относительных погрешностей всех операций вплоть до арифметических вычислений. Рекомендации Ростехнадзора, далее, определяют два основных уровня определения этой погрешности при использовании метода решения, а именно:
а) методическую компоненту погрешности, связанную с применяемым приближением метода решения уравнения переноса, рекомендуется по возможности определять, используя само верифицируемое ПС, т.е. повышая порядок приближения с использованием согласованного константного обеспечения в приближении более высокого порядка;
б) методическую компоненту погрешности, связанную с численной реализацией решения уравнения переноса, рекомендуется определять, используя само верифицируемое ПС (например, путём увеличения числа пространственных точек, энергетических групп).
В этом аспекте достаточно обоснованными следует считать результаты расчёта лишь тех программных алгоритмов, по которым они получены с указанием расчётной величины их погрешности, например:
Кэфф = 1.0±ε, где ε – есть расчётная погрешность.
Качественное влияние погрешностей численных методов расчёта реакторов на результаты их применения наглядно видно на примере зависимости кривых расчёта Кэфф для случая применения схем с разрывом функции, попадающим на границу или середину интервала расчётной сетки.
Анализу погрешностей подлежат получаемые в расчёте параметры реактора:
· величина критичности (параметр kэфф);
· эффективность органов СУЗ (КС и АЗ);
· эффективная доля запаздывающих нейтронов bэфф и её составляющие;
· изменения реактивности за микрокампанию реактора;
· распределение энерговыделения и др.
Для быстрых реакторов добавляется также анализ следующих погрешностей:
· натриевый пустотный эффект реактивности (НПЭР);
· доплеровский температурный эффект реактивности (ДТЭР).
Общий подход к обеспечению точности расчёта нейтронно-физиче-ских характеристик ядерного реактора заключается в виде допустимых погрешностей, величины которых имеют расчётно-экспериментальное обоснование. Так, для реактора на быстрых нейтронах они равны:
1) расчёт Кэфф и критической массы – погрешность расчёта 1%, ( 
0.5%), исходя из возможности без переделки конструкции реактора скомпенсировать соответствующую ошибку (погрешность изготовления твэлов приводит к этой погрешности). Таким образом, допускается общая погрешность за счёт технологии и ядерных данных, равная 
;
2) теплофизические расчёты предельной мощности реактора (из экономических соображений) – требуется точность 1%;
3) расчёт МКР и ТКР для безопасной эксплуатации реактора 20%;
4) активность Na, облучённой стали - 20%;
5) нейтронная активность младших актинидов (кюрия 242 и кюрия-244) - 20%;
6) нейтронная активность плутония-236 и плутония-238 - 20% и др.
Требования к точности расчёта параметров должны полностью соответствовать ПБЯ – Правилам ядерной безопасности, список параметров может быть расширен в конкретном случае.
В качестве примера можно привести результаты анализа погреш-ностей, выполненные по результатам расчёта параметров реактора БН-600 с урановой активной зоной и невоспроизводящим стальным экраном. Расчёт был выполнен с помощью программного комплекса TRIGEX, использующего усовершенствованный диффузионный алгоритм и численную схему расчёта. Следует отметить, что поскольку в рассмотренном примере погрешности определялись для конкретного установившегося режима перегрузок конкретного реактора, в котором существует возможность учитывать систематическое расхождение расчетных и измеренных величин, для снижения погрешности расчета были введены соответствующие поправки, которые определялись на основе сравнения с данными эксплуатации топливных загрузок реактора, штатными измерениями эффективности рабочих органов СУЗ на минимальном контролируемом уровне мощности (МКУ), а также расчетами по другим программам (ГЕФЕСТ, JARFR - также реализующим многогрупповое диффузионное приближение, MMKKENO - реализующей метод Монте-Карло), в том числе расчетами специально разработанной нейтронно-физической модели реактора БН‑600, и сравнении с другими экспериментальными данными. В общем случае, когда учет систематической составляющей погрешности расчета невозможен, величины погрешностей расчета как правило выше.
С учетом вышеизложенного можно резюмировать, что в этом случае обеспечивается следующий уровень расчетных погрешностей:
o Параметр критичности keff:
· в начале кампании: ±0.6% при значении поправочного фактора 1.007 в режиме смешанной подготовки транспортного сечения и ±0.7% при значении поправочного фактора 1.021 в стандартном режиме подготовки транспортного сечения;
· в конце кампании: ±0.6% при значении поправочного фактора 1.005 в режиме смешанной подготовки транспортного сечения и ±0.7% при значении поправочного фактора 1.019 в стандартном режиме подготовки транспортного сечения.
o Эффективность стержней СУЗ типа КС:
±7% при значении поправочного фактора 0.93.
o Эффективность стержней СУЗ типа АЗ:
±8% при значении поправочного фактора 0.85.
o beff –эффективная доля запаздывающих нейтронов:
±6% при значении поправочного фактора 1.
o НПЭР – натриевый пустотный эффект реактивности:
±0.003 абс. ед. Dk/k при значении поправочного фактора 1.
o Доплеровский эффект реактивности:
±10% при значении поправочного фактора 1.
o Локальное энерговыделение в пределах активной зоны:
±5% при значении поправочного фактора 1.
o Энерговыделение в стальном отражателе:
±25% при значении поправочного фактора 1.
Границы применимости программ.Определение границ применимости, т. е. пригодности (validation) программ для определения физических параметров ядерных реакторов основывается на результатах верификационных (тестовых) расчётов на всех этапах их выполнения с использованием необходимых контрольных задач - бенчмарков. Полученные в итоге расчётов погрешности нейтронно-физических характеристик сравниваются с их допустимыми, разрешёнными величинами и на этом основании определяется пригодность программ для дальнейшего использования в реакторных расчётах.
Определение допустимой величины методической погрешности расчёта является завершающим этапом полномасштабной верификации каждой программы, результаты которой сравниваются со значениями физических величин, полученными в эксперименте и многократно проверяются сопоставлением их с уже известными аналогами. Итогом такого полномасштабного контроля является процедура аттестации программных средств, которая разрешает их использование в проектных работах или в расчётном обеспечении эксплуатации ядерных реакторов АЭС. Свидетельством, подтверждающим этот факт и разрешающим их использование, является аттестационный паспорт,в котором перечислены все характеристики программ, условия выполнения расчётов, реальные расчётные погрешности. Все используемые на действующих АЭС нейтронно-фи-зические программы, с помощью которых осуществляется эксплуатационное сопровождение работы реакторов, снабжены ими. При оценке погрешности результатов расчетов сравнением с измеряемыми величинами рекомендуется установить соответствие рассчитанных и измеренных величин и использовать расчетное моделирование измерений. В процессе расчетного моделирования должна быть описана связь между непосредственно измеряемыми величинами и производными от них величинами, которые используются для сравнения с результатами расчёта.
При оценке погрешностей путём сравнения расчетных величин с измеряемыми необходимо устанавливать и учитывать погрешность измеряемых величин. Для их корректного определения необходимо использовать модели погрешностей измерений, систематика которых по этому вопросу приведена в международных рекомендациях и кратко выражается в следующем. Введены следующие модели измерений:
v физическая модель;
v математическая модель;
v технологическая модель;
v метрологическая модель.
Для математической модели, в частности, должны быть рассмотрены модели случайных и систематических погрешностей, а также аддитивная и мультипликативная модели погрешности. Для выработки единого во всех странах подхода к оценке и выражению погрешностей измерений и оценок неопределённости в 1992 г. было выработано «Руководство по выражению неопределённости в измерении» (ИСО), которое содержит необходимые рекомендации по этому вопросу.