Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

[e] = (e₁,…,e_n) – базис 1; – базис 2;

Т –матрица перехода от [e] к = (e₁, …, e_n) T; A ϵ L(V_n).

[e]: A ↔ A_e; A(e₁, …, e_n) = (e₁, …, e_n)A_e

; (e₁, …, e_n) ∙ A_e ∙ T = (e₁, …, e_n)T ⇔ A_eT = T ∙ ;

Т.к. det T ≠ 0, то ∃

Определение:Квадратные матрицы B и D порядка n называются подобными, если D = Q^-1BQ, Q – некоторая невырожденная матрица порядка n.

Следствие 1: Подобные матрицы и только они задают один и тот же линейный оператор в различных базисах пространства V_n.

Доказательство:

1) Пусть [e] – базис, A ϵ L(V_n), A_e – матрица А в базисе [e]. Если - другой базис V_n, то – матрица оператора А в .

, где Т – матрица перехода от [e] к . Т.е. A_e и подобны.

2) Пусть подобна A_e, т.е. ∃Q – матрица, det Q ≠ 0, такая, что .

Рассмотрим векторы = (e₁, …, e_n)Q. В этом случае - линейно независимы и образуют базис, причем Q – матрица перехода от [e] к , – матрица оператора А в .

Следствие 2: Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство: [e]: A ↔ A_e; : A ↔ ; ;

.

 

24. Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора, его инвариантность.

; λ – произвольная переменная, E = E_n.

Матрица A – λE называется характеристической матрицей матрицы А.

Рассмотрим многочлен:

+

Определение: Многочлен det(A – λE) называется характеристическим многочленом матрицы А степени равной n. Коэффициент при λⁿ равен (-1)ⁿ.

Теорема: Характеристический многочлен у подобных матриц совпадает.

Доказательство: Пусть матрицы B и D подобны, т.е. ∃ T (det T ≠ 0) такая, что D=T^-1BT; det(D-λE) = det(T^-1BT – λT^-1ET) = det(T^-1(B-λE)T) = det T^-1 ∙ det(B-λE) ∙ det T = det(B-λE), ч.т.д.

Определение: Характеристическим многочленом оператора А называется характ. многочлен матрицы этого оператора в некотором базисе V.

Следствие: Характ. многочлен лин. оператора V_n не зависит от выбора базиса.

Доказательство: [e]: A ↔ A_e; ; (det T ≠ 0)

ч.т.д.

 

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Примеры. Теорема о собственных значениях линейного оператора в конечномерном пространстве. Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.

V – линейное пространство (действительное или комплексное);

А – линейный оператор пространства V, A ϵ L(V)

Определение: Число называется собственным значением линейного оператора А, если в пространстве V существует ненулевой вектор x такой, что выполняется Ax = λx,

Любой вектор называется собственным вектором оператора А, соответствующим (отвечающим, принадлежащим) собственному значению λ.

Пример:

1) V₃ – пространство геометрических векторов в пространстве.

А – оператор проектирования на XOY

①

λ = 1 – собственное значение оператора

– собственный вектор, отвечающий данному собственному значению.

②

, λ = 0 – собственное значение

– собственный вектор

2) Тождественный оператор x = x = 1 ∙ x, λ = 1.

3) O – нулевой оператор Ox = Θ = 0*x, λ = 0 - собственный вектор

Теорема В действительном линейном пространстве V_n действительные корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.

В комплексном линейном пространстве V_n все корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.

V_n – n-мерное линейное пространство (ℝ или ℂ);

A ϵ L(V_n); [e] = (e₁, e₂, …, e_n) – базис;

[e]: A ↔ A_e – матрица оператора А в базисе [e].

Доказательство: det(A-λE) – характеристический многочлен; E = E_n;

λ₀ – собственное значение А, если ∃ x ≠ 0, x ϵ V_n, такой, что Ax = λ₀x;

; ;

; ; ;

является решением однородной СЛАУ.

(2)

Т.к. и матрица А_e – λ₀E – квадратная порядка n, то система (2) имеет ненулевое решение ⇔ det(A_e-λ₀E) = 0, т.е. λ₀ – решение характеристического уравнения (корень характеристического многочлена).

Характеристический многочлен det(A – λE):

а) в действительном случае рассматривает только действительные корни характеристического многочлена

б) в комплексном случае - характеристический многочлен имеет n корней, они являются собственными значениями.

Следствие: В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет собственное значение и собственный вектор.

В действительном линейном пространстве, если линейная размерность четная, то линейный оператор может не иметь собственных векторов.

Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.

V_n – линейное пространство (ℝ или ℂ); A ϵ L(V_n);

1° Фиксированный базис [e] = (e₁, …, e_n);

[e]: A ↔ A_e – матрица линейного оператора А.

2° A_e – λE – характеристическая матрица матрицы A_e ;

Составленное характеристическое уравнение det(A_e – λE) = 0;

Решаем характеристическое уравнение и находим корни λ₁, …, λ_n.

3° Последовательно берем λ_i(I = 1, …, n), подставляем вместо λ в характеристическую матрицу и составляем однородную СЛАУ:

(2)

Собственные векторы, отвечающие за λ_i – все ненулевые решения полученной системы.

 

Билет 26. Свойства собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям.

Пусть V-линейное пространство V’ Î V.

Определение 14. Линейное подпространство V’ Î V называется инвариантным относительно A, если ∀x Î V: Ax Î V’.

Теорема 9. Все собственные векторы линейного оператора A, соответствующие собственному значению λ₀ вместе с θ образуют линейное подпространство V’, инвариантное относительно A.

Док-во: V’={x Î V: Ax = λ₀x}

1) V’ – линейное подпространство ∀x₁, x₂ Î V’

A(x₁+ x₂ ) = Ax₁ + Ax₂ = λ₀x₁ + λ₀x₂ = λ₀( x₁ + x₂ ) => x₁ + x₂ Î V’

A( μx₁ ) = μAx₁ = μλ₀x₁ = λ₀( μx₁ ) => μx₁ Î V’.

Докажем инвариантность V’ относительно A. ∀x Î V’: т.к. V’ – линейное подпространство, следовательно V’ инвариантно относительно A.

Теорема 10. Если λ₁, …, λ_k – различные собственные значения оператора A (т. е. λ_i ≠ λ_j, при i ≠ j ), то собственные вектора f₁…, f_k, отвечающие данным собственным значениям, являются линейно независимыми.

Док-во: По условию: Af_i = λ_if_i i=1, …, k.

λ_i ≠ λ_j при i ≠ j.

Ведём индукцию по k - числу векторов.

1) k = 1 – основание индукции. λ₁ собственный вектор f₁ ≠ θ => f₁ – линейно независим.

2) Предположим, что любые(k -1) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

3) Докажем утверждение для k. λ₁, … ,λ_k-1, λ_k; f₁, …,f_k-1, f_k – линейно независимы.

α₁f₁ + … + α_k-1f_k-1 + α_kf_k = θ; (3)

A(α₁f₁ + … + α_k-1f_k-1 + α_kf_k ) = Aθ = θ;

α₁Af₁ + … + α_k-1Af_k-1 + α_kAf_k = θ;

α₁λ₁f₁ + … + α_k-1λ_k-1f_k-1 + α_kλ_kf_k = θ; (4)

Равенство (3) умножаем на λ_k и вычтем из (4).

α₁( λ₁ - λ_k )f₁ + α₁( λ₂ - λ_k )f₂ + … + α₁( λ_k-1 - λ_k )f_k-1 = θ.

По индуктивному предположению f₁, …, f_k-1 – линейно независимы .

0 = α₁( λ₁ - λ_k ) = α₂( λ₂ - λ_k ) = … = α_k-1( λ_k-1 - λ_k ).

Т. к. λ_k ≠ λ; i = 1, …, k – 1, то α₁ = … = α_k-1 = 0.

α_kf_k = θ, т. к. f_k ≠ θ, то α_k = 0

Итак, α₁ = … = α_k-1 = 0 => f₁, …, f_k-1, f_k – линейно независимы.