Билет 4. Критерий совместимости систем ЛАУ (теорема Кронкеля – Капелли).
(1) Система ЛАУ из m уравнений с n неизвестными; 
= (A|b↓) = (↓a1 … ↓an | b↓) – расширенная матричная система (1); Ax↓ = b↓ ó ↓a1x1+…+↓anxn = b↓ (1’)
Определение.Система ЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Теорема Кронкеля – Капелли.Система ЛАУ совместна в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е.. Rg A = Rg
Доказательство. Необходимость.Пусть система совместна => существуют решения (α1… αn)T. Подставим их в (1’): ↓a1 α1+…+↓an αn = b↓; Rg = Rg(↓a1 … ↓an | b↓) = Rg(↓a1 … ↓an | b↓ — ↓a1 α1-…-↓an αn) = Rg(↓a1 … ↓an | 0↓) = Rg(A|0↓) = Rg A
Достаточность.Пусть Rg A = Rg => базисный минор матрицы А является базисным минором матрицы => столбец b↓ линейно выражается через базисные столбцы матрицы А, т.е.. ∃ (α1… αn) такие, что b↓ = ↓a1 α 1+…+↓an α n => (α 1… α n)T – решение системы (1). ч.т.д.