Cхема 2.3. Семантика предложения ЯЛФРТ

Пример 2.2.Предложения «Сократ – человек», «Земля – планета», «2×2=4» являются именами абстрактного предмета истина, а предложения «Сократ – бог», «Земля – звезда», «2×2=5» обозначают абстрактный предмет ложь.

Функторы – это неполные выражения ЯЛФРТ, то есть выражения с пустыми местами. Каждый функтор ЯЛФРТ содержит одно или несколько пустых мест, замещаемых выражениями ЯЛФРТ, которые называются аргументами функтора; в зависимости от количества пустых мест функторы бывают одноместными или многоместными (двухместными, трехместными и т.д.). Каждое пустое место имеет одно или несколько вхождений в функтор; если имеется несколько вхождений пустого места в функтор, то они могут быть упорядочены естественным образом («первое вхождение пустого места в функтор», «второе вхождение» и т.д.). Как правило, предполагается, что функторы ЯЛФРТ имеют конечное (хотя и неограниченное) число мест и конечное число вхождений пустых мест. Замещение пустых мест выражениями ЯЛФРТ может быть двух видов: (1)подстановкаязыкового выражения на пустое место в функтор; при подстановке все вхождения некоторого пустого места в функтор замещаются подставляемым выражением; (2) замена пустого места; при замене происходит замещение только некоторых вхождений пустого места в функтор выражением ЯЛФРТ.

Результат замещения всех вхождений пустых мест в функтор выражениями ЯЛФРТ называется замыканием функтора. Говорят, что функтор действует на аргументы: переводит аргументы в замыкание.

В качестве аргументов и замыканий функторов могут использоваться как полные выражения ЯЛФРТ (имена и предложения), так и функторы. Простые функторы ЯЛФРТ переводят полные выражения в полные. Среди аргументов и/или замыканий сложных функторов ЯЛФРТ обязательно встречаются функторы, то есть неполные выражения.

Аналогов функторов в естественном языке нет. Это обусловлено принципиальным отличием структуры сложных выражений естественного языка и ЯЛФРТ. Сложное выражение естественного языка «порождается» в некотором процессе, протекающем во времени; структура этого процесса фиксируется строением сложного выражения. Например, строение предложения «Книга лежит на столе» в естественном языке передается конструкцией (1): «(Кто? Что?) Книга (Что делает? В каком состоянии находится?) лежит (Где?) на столе» или конструкцией (2): «Кто? Что?) Книга (Что делает? В каком состоянии находится?) лежит (На чем?) на столе». Эти две конструкции фиксируют два разных процесса диалогического характера (два языковых диалога, две языковые игры), в каждом из которых предполагается вопрос и ответ на этот вопрос. Поскольку вопросы в этих диалогах разные, мы имеем дело с двумя предложениями естественного языка; в первом из них имеется обстоятельство места «(Где?) на столе», а во втором – дополнение «(На чем?) на столе». В ЯЛФРТ сложное выражение получается путем замещения пустых мест в функторе; так, предложение «Книга лежит на столе» в ЯЛФРТ есть результат подстановки двух имен: «книга» и «стол» соответственно на первое и второе пустые места в функторе « . . . лежит на _* _* _* » (пустые места обозначены «. . .» и «_* _* _*»). В контексте данного предложения слова естественного языка «книга» и «стол» являются именами ЯЛФРТ, так как каждое из них называет один единственный предмет из универсума рассуждения.

Таблица 2.1. Простые функторы ЯЛФРТ

название функтора	аргументы	замыкание	примеры
оператор	имена	имя	«отец ...», «... + 1», «(. . . + _* _* _*) : ...»
предикатор	имена	предложение	«. . . (есть) отец», «... – отец _* _* _», «. . . < 5», «. . . + _ _* _* = 101»
коннектор	предложения	предложение	«неверно, что ...» –отрицание; «... и _* _* _» –конъюнкция; «... или _ _* _» –дизъюнкция (альтернатива); «если ..., то _ _* _» –импликация; «...если и только если _ _* _» – эквиваленция.*
субнектор*	предло-жения	имя	«тот самый, который . . .»

* Вообще говоря, субнектор не является простым функтором ЯЛФРТ; поскольку в ЯЛФРТ принимается основная идеализация, здесь в принципе невозможны простые функторы, переводящие предложения в имена. Функтор определенной дескрипции, введенный Б. Расселом, на самом деле переводит в имя некоторый предикатор (неполное предложение) при условии доказательства существования и единственности предмета, имя которого при подстановки в предикатор превращает его в истинное предложение.

Сложные функторы ЯЛФРТимеют в качестве аргументов функторы. Наиболее употребительными сложными функторами являются кванторы, абстрактор и классообразователь (функтор множества).

Квантор – это сложный функтор ЯЛФРТ, переводящий одноместный предикатор в предложение путем связывания пустого места в предикаторе.

До сих пор мы имели дело с одним способом образования простых предложений в ЯЛФРТ: подстановкой имен в предикатор. Кванторы дают возможность образовать из одноместного предикатора предложение без подстановки – путем связывания пустого места. В ЯЛФРТ используются два вида кванторов: квантор существованияи квантор общности.

Рассмотрим предложение естественного языка:

(1) «Некто есть отец Лжедмитрия I».

Грамматическая структура этого предложения совпадает с грамматической структурой предложения естественного языка

(2) «Иван Грозный есть отец Лжедмитрия I»

и выражается диалогической конструкцией:

«(Кто? Что?) Некто (Что делает? В каком состоянии

находится?) есть отец (Кого? Чего?) Лжедмитрия I».

В ЯЛФРТ предложения (1) и (2) должны быть получены путем устранения(элиминирования) пустых мест в предикаторе «…есть отец _***». Второе пустое место (_***) устраняется (элиминируется) в обоих случаях подстановкой имени «Лжедмитрий I». Первое пустое место (…) при образовании предложения (2)устраняется подстановкой имени «Иван Грозный». Как устраняется первое пустое место в предикаторе «…есть отец _***» при образовании предложения (1)? Грамматика естественного языка «подсказывает» подстановку вместо пустого места имени «некто»; однако местоимение «некто» не является именем в ЯЛФРТ, поэтому этот способ элиминирования пустого местане годится в данном случае. Вместе с тем, предложение (1) является осмысленным и даже истинным; поэтому оно должно быть представлено в ЯЛФРТ и обозначать абстрактный предмет и. Для нахождения способа представления предложения (1)в ЯЛФРТ заметим, что в этом предложении не называется имени отца Лжедмитрия I, а лишь констатируется его существование; то есть смысл предложения (1) может быть более точно выражен предложением:

(1') «Существует человек, который есть отец Лжедмитрия I».

Для трансформации этого предложения в предложение ЯЛФРТ достаточно ввести пустые места:

(1'') «Существует … (есть) человек, такой что [… (есть) отец Лжедмитрия I]».

Выражение «Существует … (есть) человек, такой что [₊₊₊]» рассматривается в ЯЛФРТ как сложный функтор, содержащий в своем составе одно пустое место «₊₊₊», замещаемое предикатором «…есть отец Лжедмитрия I», в составе которого имеется пустое место «…», входящее в выражение сложного функтора. Этот сложный функтор называется квантор существования. Пустое место «₊₊₊» называют областью действия квантора существования (обозначена квадратными скобками). Предложение (1'') получено в результате действия квантора существования на одноместный предикатор «…есть отец Лжедмитрия I». Поскольку выражение (1'') является предложением, оно не может содержать пустых мест; следовательно, действие квантора существования на предикатор заключается в том, что пустое место, входящее в состав предикатора, не может более замещаться именами, если предикатор находится в области действия квантора существования, содержащего данное пустое место. Говорят, что квантор связывает пустое место, входящее в его состав.

Квантор общности, как и квантор существования, вводится на основании анализа логической структуры предложений естественного языка. Как представить в ЯЛФРТ предложение естественного языка:

(3) «Лиса – хищное животное»?

Очевидно, в ЯЛФРТ нельзя получить данное предложение путем подстановки в предикатор «… – хищное животное» имени «лиса» вместо «…», так как выражение «лиса» не является именем в ЯЛФРТ, а является предикатором «…– лиса». Для представления в ЯЛФРТ заметим, что смысл предложения (3) в естественном языке более точно передается предложением:

(3') «Каждая лиса – хищное животное»,

что позволяет записать соответствующее выражение ЯЛФРТ путем введения пустых мест:

(3'') «Для каждой … – лиса, […– хищное животное]»,

и представить предложение (3'') как результат действия квантора общности «Для каждой …– лиса [₊₊₊]» на предикатор «…– хищное животное» (область действия квантора обозначена квадратными скобками).

Относительно выражений ЯЛФРТ с квантором общности справедливо все, что говорилось выше о выражениях ЯЛФРТ с квантором существования.

Таким образом, кванторные выражения ЯЛФРТ содержат в своем составе следующие компоненты.

(1) Выражения для кванторов, содержащие в своем составе пустые места, замещаемые индивидами, например: «Существует … (есть) человек, такой что [₊₊₊]», «Для каждой …– лиса [₊₊₊]».

(2) Выражения, находящиеся в области действия кванторов; в наших примерах: «…есть отец Лжедмитрия I», «…– хищное животное»; эти выражения часто называют подкванторные выражения.

(3) Пустые места, входящие в выражения для кванторов, называют квантифицируемыми; все вхождения этих пустых мест в выражения, находящиеся в области действия кванторов, называют связанными, или квантифицированными; связанные вхождения пустых мест не могут замещаться. Говорят, что квантор, содержащий данное пустое место, связывает все вхождения этого пустого места в области своего действия. Вхождения пустого места, находящиеся вне области действия квантора, содержащего в своем составе данное пустое место, называются свободными.

Пустое место может входить в квантор двумя способами: (1) в составе некоторого одноместного предикатора, как в рассмотренных выше случаях; (2) прямо, непосредственно: «Существует … такой, что [₊₊₊]», «Для каждого …[₊₊₊]». В первом случае кванторы называются ограниченными кванторами, а во втором – неограниченными.

Абстрактор и классообразователь будут рассмотрены ниже, после общих семантических правил ЯЛФРТ.

Выражения ЯЛФРТ представляют собой знаковые конструкции, составляемые из некоторых элементарныхстандартных знаков-символов(атомарных знаков, атомов). Все стандартные символы ЯЛФРТ разбиваются на две большие категории: постоянные символы (константы) и переменные символы (переменные). Постоянные символы – это стандартные обозначения для исходных выражений ЯЛФРТ различных семантических категорий; переменный символ – это пустое место с указанием семантической категории подставляемых на это пустое место выражений.

Таблица 2.2. Стандартные символы ЯЛФРТ

семантическая категория	постоянные символы (константы)	переменные символы
имена	a, b, c, a₁, b₁, c₁,a₂, ... именные, предметные, индивидные	x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, ... именные, предметные, индивидные
предложения	A, B, C, ,B₁, ...,И,Л пропозициональные	p, q, r, p₁,q₁,r₁, p₂, ... пропозициональные
операторы*	+², -², :², sin¹, lg¹, ... операторные, функциональные	f ¹,g¹, h², , , , ... операторные, функциональные
предикаторы*	A¹, B¹, C¹, , , ... предикатные	P¹, Q¹, R¹, P², , , ..., S¹, M¹, , , … предикатные
коннекторы (логические союзы, логические константы)	Ø, N – отрицание Ù, &,K – конъюнкция Ú, A – дизъюнкция Ú – исключающая дизъюнкция ®, É,С– импликация«, – эквиваленция	нет
кванторы	$ – квантор существования " – квантор общности	нет
абстрактор	l	нет
классообразователь (функтор множества)	{ ½ }	нет

* Верхний индекс константы указывает число мест соответствующего функтора; верхний индекс переменной указывает число мест подставляемого вместо этой переменной функтора.

В этой таблице отсутствуют символы для обозначения некоторых предикаторов и сложных функторов, играющих важную роль в логике; они будут вводиться в дальнейшем по мере необходимости.