Трапеция

Планиметрия

 

Произвольный треугольник 1. Теорема косинусов: 2. Теорема синусов:
B
3. Площадь определяется по формуле:

A

           
   
   
ha
 
 
 

 

 

           
   
 
   
С
 
 

 

 
Три медианы пересекаются в одной точке (её называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Длину медианы можно определить по формуле:
 
 

 
  Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (её называют ортоцентром треугольника) Для любого треугольника справедливо соотношение:      
  Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной в треугольник окружности) Длину биссектрисы можно определить по формуле:   Свойство биссектрисы:
 
 

 

 


 

A

B
Около всякого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус определяется по формулам:

       
   
 
 

 

 

 
 
C

 


A

  Во всякий треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а её радиус вычисляется по формуле: ,      
O
B
C

Для правильного треугольника со стороной Площадь: , высота: Радиус вписанной окружности: , Радиус описанной окружности: ,
r
R








Для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой справедливы соотношения:

C
(теорема Пифагора),

B
A

 
5) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а её радиус вычисляется по формуле:

 
 

 

 


 

 

6) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Для равнобедренного прямоугольного треугольника:

 

 
Произвольный четырёхугольник 1) Если окружность вписана в четырёхугольник со сторонами , то суммы длин противоположных сторон равны:  

  2) Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны :       3) Площадь любого четырёхугольника вычисляется по формулам:
, где -
длины диагоналей, - угол между диагоналями.

, где - полупериметр, - радиус
вписанной окружности

 

 

  

Параллелограмм 1) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: 2) площадь вычисляется по формулам:

Ромб 1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. 2) Площадь вычисляется по формулам:    

Квадрат
O
1)
2)

 

           
 
   
 
   
 

 

 

Прямоугольник
1)

O
2) Около любого прямоугольника
можно описать окружность,


Трапеция

 

, где - средняя линия. В равнобедренной трапеции

Средняя линия проекция диагонали на нижнее

С
В
основание, равна средней линии,
MN = AH

В
С
                   
 
   
 
   
D
   
А
     
H
 
 
 


Правильный шестиугольник
O
1) ,

2)

                       
 
 
   
   
   
   
 
 
 
 
   

М
Окружность

  		1.
    Свойства касательных к окружности.

А
а) Радиус, проведённый в точку касания,

В
N
O
перпендикулярен касательной;
б) Две касательные к окружности,
проведённые из одной точки, равны,

j
O
а центр окружности лежит на биссектрисе
угла между ними.

С
А
2j j j
2. Измерение углов, связанных с окружностью.
а) Центральный угол измеряется дугой,
на которую он опирается;
б) Вписанный угол измеряется половиной дуги,

А
на которую он опирается;

В
2j j j
j
O

в) Угол между касательной и хордой равен половине
дуги, заключённой между касательной и хордой.

 

 

А
D
3. Метрические соотношения в окружности.
а) Если две хорды пересекаются, то произведение

М
В
отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды: АМ ВМ = СМ DМ

 

 
 
С


В


С
М
б) Если из точки Мк окружности проведены
две секущие, то АМ ВМ = СМ DМ

 
 
С


М
в) Если из точки Мк окружности проведены

секущая и касательная, то АМ ВМ = СМ 2

       
 
А
 
   
В

 

4. Площадь круга: , Длина окружности: Площадь сектора: а) б) Длина дуги сектора: а) б) Некоторые свойства площадей: а)Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:  
б) Отношение площадей двух треугольников с одинаковыми

высотами равно отношению их оснований.

 

 
 

 


       
   
 
 

 
в) Биссектриса треугольника делит его площадь на
части, пропорциональные сторонам, между которыми
она проведена.

 
 

 

 

 


Геометрические тела Площади поверхностей Обозначения
Произвольная призма - периметр перпендикулярного сечения, - длина бокового ребра
Прямая призма - периметр основания, - длина бокового ребра
Правильная пирамида - периметр основания, - апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания)
Правильная усечённая пирамида - периметры нижнего и верхнего оснований, - апофема (высота боковой грани)
Цилиндр - радиус основания и высота цилиндра
Конус - радиус основания и образующая конуса.
Усечённый конус - радиусы оснований, -длина образующей конуса
Шар - радиус шара.
Сегмент - радиус основания сегмента - радиус шара - высота сегмента

 

Геометричес кие тела Объёмы Обозначения
Произвольная призма   - площадь основания и высота призмы - площадь перпендикулярного сечения и длина бокового ребра призмы
Прямая призма - площадь основания и высота призмы
Пирамида - площадь основания и высота пирамиды
Усечённая пирамида - площади верхнего и нижнего-оснований, -высота пирамиды.
Цилиндр - радиус основания и высота цилиндра
Конус -радиус основания и высота конуса.
Усечённый конус -радиусы оснований, - высота конуса
Шар -радиус шара.
Сегмент -радиус шара - высота сегмента
Шаровой сектор - радиус шара - высота сегмента

 

1. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием или с высотой

пирамиды равные углы (или все боковые рёбра равны), то высота
пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

 

2. Если все боковые грани пирамиды об то высота
пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

 

2. Если все боковые грани пирамиды образуют с высотой пирамиды равные
углы или образуют с основанием равные углы (или высоты всех
боковых граней равны), то высота пирамиды проходит через центр

окружности, вписанной в основание, и .