Биномиальное распределение

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

(19.1)

( p – вероятность появления А в каждом испытании).

Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть равенства (4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032;

р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064;

р(Х=2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512;

р(Х=3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048;

р(Х=4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

 

х
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

 

Для рассматриваемой дискретной случайной величины Х (число появлений события А в серии из п независимых испытаний), М(Х) и D(X) можно вычислить их согласно определения (16.1), (17.2) или (17.3), используя ряд распределения Х.

Но можно поступить и иначе, применяя свойства математического ожидания и дисперсии. Пусть Х₁ – число появлений А в первом испытании, Х₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Xi
pi	q	p

Следовательно, М(Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(X_i) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии