Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, то есть, если X- дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| pi | p1 | p2 | … | pn |
то математическое ожидание M(X) находится по формуле:
M(X) = x1p1 + x2p2 + …+ xnpn. (16.1)
Отметим, что при большом числе опытов среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.
Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная.
Основные свойства математического ожидания:
1. M(С) = М;
Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С·1 = С.
2. M(CX) = CM(X);
Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| pi | p1 | p2 | … | pn |
то ряд распределения для СХ имеет вид:
| Сxi | Сx1 | Сx2 | … | Сxn |
| pi | p1 | p2 | … | pn |
Тогда М(СХ) = Сх1р1 + Сх2р2 + … + Схпрп = С( х1р1 + х2р2 + … + хпрп) = СМ(Х).
3. M(XY) = M(X) M(Y),где Xи Y- независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.
Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
| xi | x1 | x2 |
| pi | p1 | p2 |
| уi | у1 | у2 |
| gi | g1 | g2 |
Тогда ряд распределения для XY выглядит так:
| ХY | x1y1 | x2y1 | x1y2 | x2y2 |
| p | p1g1 | p2 g1 | p1g2 | p2g2 |
Следовательно, M(XY) = x1y1·p1g1 + x2y1·p2g1 + x1y2·p1g2 + x2y2·p2g2 = y1g1(x1p1 + x2p2) +
+ y2g2(x1p1 + x2p2) = (y1g1 + y2g2) (x1p1 + x2p2) = M(X)·M(Y).
4. M(X+Y) = M(X) +M (Y);
Доказательство.
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведенными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х1 + у1, х1 + у2, х2 + у1, х2 + у2. Обозначим их вероятности соответственно как р11, р12, р21 и р22. Найдем М( Х +Y ) = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12 + (x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22 =
= x1(p11 + p12) + x2(p21 + p22) + y1(p11 + p21) + y2(p12 + p22).
Докажем, что р11 + р22 = р1. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х1 + у1 или х1 + у2 и вероятность которого равна р11 + р22, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х1 (его вероятность – р1). Аналогично доказывается, что p21 + p22 = р2, p11 + p21 = g1, p12 + p22 = g2. Значит,
M(X + Y) = x1p1 + x2p2 + y1g1 + y2g2 = M (X) + M (Y).
Замечание. Из свойства 4 следует, что математическое ожидание суммы любого числа случайных величин (как независимых, так и зависимых) равно сумме их математических ожиданий.
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М(Х1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М(Х)= 