Интегральная теорема Лапласа

Во многих задачах требуется вычислить вероятность того, что в серии из nиспытаний событие Апроизойдет не менее и не более раз, обозначаемую .

Вычисление этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших nвесьма затруднительно.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события Ав каждом из nнезависимых испытанийпостоянна и равна p (0 < p < 1),то имеет место приближенное равенство

, где (13.1)

Для вычисления вероятности формулу представляют в виде:

,(13.2)

где - функция Лапласа, для которой составлены таблицы значений.

Так как Ф₀(х) функция нечетная, т.е. Ф₀(-х) = -Ф₀(х), то таблицы составлены лишь для х ≥ 0.

Замечание 1. Имеются также таблицы для функции Лапласа . В этом случае значения функции затабулированы как для положительных, так и для отрицательных значений х, а равенство (13.2) остается в силе при замене Ф₀(х) на Ф(х).

Замечание 2. Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз в n испытаниях

можно вычислять по формуле (13.1), полагая k1 = k, k2 = n.