Повторные испытаний. Формула Бернулли

Пусть проводится серия из nиспытаний, в результате каждого из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность наступления события Ав каждом испытании постояннаи равна p, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.

Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется

последовательностью независимых испытаний (или схемой Бернулли).

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется лишь два исхода:

1)событиеА, P(A) = p;

2)событие , .

Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности).

Интересующее нас событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: p^kq^n-k.

Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

. (10.1)

 

Наиболее вероятное значение k₀появлений события Ав nиспытаниях удовлетворяет неравенствам

(10.2)

 

Если целое число, то и тоже целое ( ) и при этом наиболее вероятны два значения и .

 

Покажем справедливость . Для этого достаточно показать, что эти неравенства следуют из и . Действительно,

 

Вероятность того, что в n испытаниях событие Апроизойдет не менее kраз можно найти используя теорему сложения вероятностей и формулу Бернулли:

(10.3)

 

Количество n испытаний, которое необходимо произвести для того, чтобы с

вероятностью, не менее Р_* , можно было утверждать, что событие А произойдет хотя бы один раз, определяем по формуле:

(10.3)

 

Пример. Вероятность отсутствие готовности автомобиля к выезду составляет 0,25. У фирмы 10 автомобилей.

а) Какова вероятность, что не менее 8 автомобилей всегда готовы к работе?

б) Каково наиболее вероятное число готовых к выезду автомобилей?