Вероятность суммы событий
Теорема (теорема сложения).Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна
Р(А + В ) = р(А) + р(В) – р(АВ). (7.1)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В). (7.2)
Следствие 2. Если несовместные события А1, А2, …, Аn образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
Р(А1)+ Р(А2)+…+ Р(Аn) = 1. (7.3)
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
. (7.4)
Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (7.4).
Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлека-ются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.
Решение. Событие 
, противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):
а множество исходов, благоприятных событию - это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:
Тогда 
а 