Пуазейль формуласы

1841 жылы француз физигi Пуазейль ламинарлық ағыстың жылдамдығын анықтайтын заңды ашты:ь түтiкпен ағып жатқан сұйықтың ламинарлық ағысының орташа жылдамдығы сұйықтың қысым градиентiне, түтiк радиусының квадратына тура, ал сұйық тұтқырлығына керi пропорционал болады:

.

Құбырдағы ламинар ағысында жылдамдық параболалық заңмен өзгередi.

Құбырдың көлденең қимасынан ағатын сұйық ағынын қарастырамыз.

Сұйық ағыны деп бiрлiк уақытта құбырдың көлденең қимасынан өтетiн сұйықтың көлемiн айтады.

- Пуазейль теңдеуi.

Түтiкпен ағып жатқан сұйықтың ағыны сұйықтың қысым градиентiне, түтiк радиусының төртiншi дәрежесiне тура, ал сұйық тұтқырлығына керi пропорционал болады.

Ішкi үйкелiс күшi

Сұйық қабаттары бiр-бiрiне қатысты қозғалғанда қабаттар арасында үйкелiс күшi пайда болады. Бұл iшкi үйкелiс күшiдеп аталады. Ішкi үйкелiс күшiн анықтайтын формуланы Ньютон ашты. Сондықтан бұл формула iшкi үйкелiс күшi үшiн Ньютон формуласыдеп аталады.

,

 

мұндағы: - пропорционалдық коэффициент немесе сұйықтың тұтқырлық коэффициентi. Өлшем бірлігі .

Сұйықтардың тұтқырлығы - сұйық тегіне және температураға тәуелдi.

 

Сұйық ағысының шарттары

Сұйық ағысы белгiлi бiр жылдамдықтың мәндерiнде ламинар ағысынан турбуленттi ағысқа айналады. Ағыстың қай түрi болуы сұйықтың тегіне, құбырдың өлшемдерiне және ағысының жылдамдығына тәуелдi болады. Сұйық ағысының шарты Рейнольдс (Re) санымен анықталады.

,

мұндағы: динамикалық тұтқырлық.

Егер, l=r (радиус) болса, – ламинар ағыс, – турбуленттi ағыс,

Егер, l=d (диаметр) болса, - ламинар ағыс, турбуленттi ағыс екенiн көрсетедi.

- кинематикалық тұтқырлық.

Стокс заңы

Дене сұйық iшiнде қозғалғанда туындайтын құбылыстарды қарастырайық. Дене тұтқыр ортада қозғалғанда кедергi пайда болады, оның екi түрлi себебi бар. Дене аққыш пiшiндi және жылдамдығы аз болып, құйын пайда болмайтын жағдайда кедергi күшi тек сұйық тұтқыр болған себептен туындайды. Қатты денеге тiкелей жанасатын сұйық қабаты оның бетiне жабысады да, толығымен сол денеге iлеседi, ал одан кейiнгi қабат денеге iлесе шағын жылдамдықпен қозғалады. Сөйтiп, сұйық қабаттарының арасында үйкелiс күшi пайда болады. Бұл жағдайда Стокс тұжырымдаған заң бойынша кедергi күшi жылдамдыққа, тұтқырлық коэффициентiне және дененiң сызықтық өлшемдерiне тура пропорционал болады. Егер тұтқыр сұйық iшiнде шар тәрiздес қатты дене қоғалады десек, онда Стокс заңы бойынша кедергi күшi мынаған тең болады:

.

мұндағы: - сұйықтың тұтқырлық коэффициентi, - шардың радиусы, - оны» қозғалыс жылдамдығы.

Жоғарыдағы формула бойынша шардың тұтқыр сұйық iшiнде бiрқалыпты қозғалып төмен түсу жылдамдығын табуға болады. Ауыр шар тұтқыр сұйық iшiнде тек бастапқы мезетте ғана үдей қозғалып төмен түседi (сурет).

Оның түсу жылдамдығы ұлғайған сайын кедергi күшi де артып, шарға әсер етушi ауырлық күшiн теңгере бастайды. Күштер бiрiн-бiрi теңгерген кезде, шар тұрақты жылдамдықпен бiрқалыпты қозғалып төмен түседi, сонда жылдамдығы жоғарыдағы формулаға сәйкес келесі теңдiктен табылады:

немесе .

Сұйық iшiндегi шарға әсер ететiн күшi Архимед заңы бойынша айырымына тең, мұндағы - шардың салмағы, - Архимед күшi, ол шардың көлемiндегi сұйықтың салмағына тең, сонда

,

мұндағы - шар тығыздығы, - сұйық тығыздығы. Сонда

 

.

Бұдан шардың жылдамдығы:

.

Механикалық тербелiстер

Бiрдей уақыт аралығында қайталанып отыратын процестi тербелiсдеп атайды.

Синус (косинус) заңы бойынша уақытқа тәуелдi өзгеретiн тербелiстi гармониялық тербелiсдеймiз. Ол мына формуламен сипатталады.

 

,

мұндағы: х – жүйенiң ығысуы. Ығысу деп жүйенiң тепе-теңдiк күйiнен кез-келген ауытқуын айтады.

Қозғалыс заңы формуласымен өрнектелетiн жүйенi бiр өлшемдi гармониялық классикалық осциллятор немесе қысқаша классикалық осциллятордеп атайды.

Мысалы, төмендегi суреттерде қарапайым тербелмелi жүйелер: серiппелi маятник пен математикалық маятник көрсетiлген.

Классикалық осцилляторды мына шамалар сипаттайды. Бiр тербелiске кететiн уақытты (Т) периоддеп атайды, ол , ω - циклдiк жиiлiкдеп аталады, ал периодқа керi шаманы жиiлiкдеп атайды, . Жиiлiктiң өлшем бiрлiгi 1Гц.

Дененiң тепе-теңдiк қалыптан ығысуының ең үлкен мәнiн (А) амплитудадеп атайды. ωt+φ₀ – тербелiс фазасыдеп аталады,φ₀- бастапқы фаза. Фаза тербелiп тұрған дененiң (жүйенiң) күйiн сиппаттайды.

Гармониялық тербелiстердiң жылдамдығын табу үшiн қозғалыс теңдеуінен уақыт бойынша туынды аламыз.

.

Жүйенiң тербелiсiнiң үдеуiн табу үшiн қозғалыс теңдеуінен уақыт бойынша 2-шi рет туынды аламыз.

.

Ендi материялық нүктенi (жүйенi) гармониялық тербелiске түсiретiн күшті анықтайық. Тербелiстегi нүктеге әсер етушi күш оның ауытқу шамасына тура пропорционал және әрдайым тепе-теңдiк қалыпқа қарай бағытталады. Сондықтан мұндай күштi қайтарушы күш деп атайды. Мысал ретiнде теңдiктi қанағаттандыратын серпiмдi күштердi, яғни Гук заңымен өрнектелетін күштерді алайық:

,

мұндағы - қа тең.

Егер тербелiс осiнiң бойымен болады десек,онда үдеу болар едi. Сонда Ньютонның екiншi заңы бойынша:

.

Бұдан немесе .

Осы формула гармониялық тербелмелi қозғалыстың дифференциал теңдеуi деп аталады.

Сонымен, гармониялық тербелiске мынадай динамикалық анықтама беруге болады. Нүктенiң гармониялық тербелiсiдеп ауытқу шамасына пропорционал күштiң әсерiмен тепе-теңдiк қалыптың маңында тербелетiн және тербелiстiң орташа мәнiне қарай бағытталған тербелiстi айтамыз.

 

Тербелiстегi нүктенiң энергиясы

Тербелiстегi материялық нүктенiң кинетикалық энергиясы:

.

Жылдамдық болғандықтан

.

Сонда тербелiстегi нүктенiң ауытқуының шеткi мәндерiнде кинетикалық энергия нольге тең, ал тепе-теңдiк қалыптың маңында максимум мәнiне ие болады. Сонымен қатар, тербелушi нүктенiң потенциалдық энергиясы да бар. Потенциалдық энергия дененiң орын ауыстыруы үшiн ауытқуды туғызатын сыртқы күштердiң iстейтiн жұмысының шамасымен өлшенедi:

.

Жоғарыда айтылған , , , өрнектерiн пайдалансақ, потенциалдық энергияның шамасын келесі түрде жазуға болады:

.

Тербелiстегi нүктенiң потенциалдық энергиясы ауытқудың шеткi мәндерiнде максимум мәнiне ие болады да, тепе-теңдiк қалыптың маңында нольге тең болады.

Ендi тербелiстегi материялық нүктенiң толық энергиясын жазатын болсақ, онда ,

Сонда және десек, онда толық энергия

.

Сонымен, гармониялық тербелiстегi нүктенiң толық энергиясы нүктенiң массасына, амплитуда мен тербелiс жиiлiгi квадраттарына пропорционал болады.

 

Механикалық тербелмелi жүйелер

Тербелiп тұрған дене басқа денелермен байланыста болып, денелер жүйесiн құрады да тербелмелi жүйедеп аталады.

Барлық тербелмелi жүйеге тән ортақ қасиеттер болады. Мысалы, әрбiр тербелмелi жүйенiң орнықтылық тепе-теңдiк күйлерi болады. Тербелмелi жүйе орнықтылық тепе-теңдiк күйiнен шығарылғаннан кейiн оны орнықтылық күйге қайтаратын күш пайда болады. Мұндай күштiң шығу тегi әр түрлi болуы мүмкiн. Орнықтылық күйге қайтып келген тербелмелi жүйе бiрден тоқтамайды. Оған тербелген дененiң инерттiлiгi кедергi болады.

 

Физикалық маятник

Ауырлық центрiнен өтпейтiн кез-келген оське қатысты тербелiс жасайтын қатты дененi физикалық маятникдеп атайды.

 

Физикалық маятниктiң еркiн тербелiсiн сипаттайтын дифференциалдық теңдеу: .

Тербелiс периоды: , циклдiк жиiлiгi: ,

мұндағы: - инерция моментi.

Математикалық маятник

Созылмайтын, салмақсыз жiпке iлiнген материялық нүктенi математикалық маятникдеп атайды.

Математикалық маятниктiң еркiн тербелiсiн сипаттайтын дифференциалдық теңдеу: .

Тербелiс периоды: , циклдiк жиiлiгi: .

Математикалық маятниктiң тербелiс периоды тек маятниктiң ұзындығына және еркiн түсу үдеуiне тәуелдi болады.