Тер.вер-ти

Вариант1

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

Нужная студенту формула содержится в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6; 0,7;0,8.Найти вероятность того, что нужная формула содержится: а)не менее чем в двух справочниках, б) хотя бы в одном справочнике.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую»и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70; 0,15 cоответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Какова вероятность того, что в настоящий момент индекс экономического состояния возрос? Если предположить , что индекс возрос, то чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме.

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли.

При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков : а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содержит не более 3 искажений?

Задание4.Составить закон распределения дискретной cлучайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, sХ. Найти Р(Х<x₀), P(x₁ ).

Случайная величина Х- число обанкротившихся банков. Всего в городе 5 коммерческих банков и у каждого риск банкротства в течение года составляет 10%.

Задание5.Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Является ли случайная величина Х непрерывной?

б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее.

В) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

г) Найдите МХ, ДХ, sХ

д) Найдите Р(

на [2,6] (1,5)

Задание6.Шкала угломерного инструмента имеет цену деления в 1⁰. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Пусть случайная величина Х- допущенная при отсчете абсолютная величина ошибки. Найдите: а)плотность вероятности f(x); б) функцию распределния F(x); в) вероятность того, что допущенная при отсчете ошибка превзойдет 20^/; г) постройте графики f(x) и F(x) ; д) числовые характеристики случайной величины Х.

Тер.вер-ти.

Вариант 2.

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95; 0,90; 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы один банк; в) обанкротится один банк.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

В магазин некоторое изделие поставляется тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй-85%, третий-75%. Найти вероятность того, что : а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли

Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимание рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите: а) вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимание рабочего; б) наиболее вероятное число (m₀) cтанков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа, и вероятность того, что (m₀) станков потребуют внимания.

Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если три стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна-0,5, для второго-0,4; для третьего-0,7.

Задание5.Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Является ли случайная величина Х непрерывной?

б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее.

В) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

г) Найдите МХ, ДХ, sХ

д) Найдите Р(

(1,2)

Задание6.Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а=2,5мм , s=0,01 мм. Найдите : а) плотность распределения f(x) ; б) график f(x); в) границы, в которых можно практически гарантировать ( с вероятностью 0,9974) размер диаметра втулки; г) вероятность того что размер диаметра втулок не превысит 2,55 мм.

Тер.вер-ти

Вариант3.

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

В магазине имеется 10 телевизоров, из которых три имеют дефекты. Посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефекта понадобится не более трех попыток. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Среди клиентов страховой компании 50% относится к классу малого риска, 30%- к классу среднего риска и 20%- к классу большого риска. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для класса малого риска равна 0,01, среднего- 0,03, большого- 0,08. Какова вероятность того, что наудачу взятый а) застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение клиент относится к группе малого риска.

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли

Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа , причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того что учащийся не знающий ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3-х правильных ответов ( предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).

Случайная величина Х- число правильных счетов, если аудиторской проверке подверглись 5 случайно отобранных счетов. Известно, что обычно при таких проверках 3% счетов содержат ошибки

х₀=1 х₁=3 х₂=5

Задание5.Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Является ли случайная величина Х непрерывной?

б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее.

В) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

г) Найдите МХ, ДХ, sХ

д) Найдите Р(

Задание6.Автобусы идут строго по расписанию с интервалом 5 минут. Предполагая что время Х ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите : а) плотность вероятности; б) функцию распределения cлучайной величины Х; в) вероятность того что время ожидания не превзойдет 2 мин ; г) постройте графики плотности вероятности и функции распределения; д) числовые характеристики данной случайной величины.

Тер.вер-ти

Вариант4.

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей

В аудиторской фирме работают 7 аудиторов, из которых 3-высокой квалификации, и 5-программистов, из которых 2- высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайне мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Если экономика страны будет на подъеме, то вероятность роста стоимости акций некоторой компании оценивается в 0,75. Если экономика страны не будет успешно развиваться, то эта вероятность будет равна 0,30. По мнению экспертов вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в новом году. По прошествии года оказалось, что прогноз относительно роста стоимости акций оказался верным. Найдите вероятность того, что рост стоимости акций сопровождался экономическим ростом в стране.

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли

Вероятность того что покупателю потребуется обувь 41 размера равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному покупателю.

Случайная величина Х- число рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых. В городе 10 машиностроительных предприятий, из которых 6 рентабильных и 4 убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 предприятий, случайно отобранных.

х₀=4 х₁=3 х₂=5.

Задание5.Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Является ли случайная величина Х непрерывной?

б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее.

В) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

г) Найдите МХ, ДХ, sХ

д) Найдите Р(

, 0<x

Задание6.Автомат изготавливает детали. Случайные отклонения фактического размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=5мм и математическим ожиданием а=0. Найдите : а) плотность распределения f(x); б) ее график; в) процент годных деталей, изготавливаемых автоматом, при условии, что деталь считается годной, если отклонение не превышает 10 мм; г) в каких границах практически находятся отклонения в размере изготовленных деталей (практически достоверное событие имеет вероятность не меньше 0,9974)

Тер.вер-ти

Вариант5.

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей

На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность того, что среди отобранных : а) хотя бы одна книга по теории вероятностей; б) одна книга по теории вероятностей.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке-фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказалось 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Найти вероятность того, что выбрана фамилия мужчины. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины.

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли

На автобазе имеется 6 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите: а) вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 5автомашин; б) вероятности на линию выйдет 3 автомашины.

Случайная величина Х- число промахов. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более трех выстрелов.

х₀=1 х₁=0 х₂=2

Задание5.Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Является ли случайная величина Х непрерывной?

б) Имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(x). Если имеет , то найдите ее.

В) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

г) Найдите МХ, ДХ, sХ

д) Найдите Р(

(0,1)

Задание6.Известно , что время Т- промежуток времени между двумя последовательными событиями простейшего потока событий имеет показательный закон распределения с параметром l, где l- интенсивность потока. Поступающие на АТС вызовы образуют простейший поток событий. Среднее число вызовов, поступающих за 1 минуту, равно 2. Т- время между двумя последовательными вызовами. Найдите: а) f(t)- плотность распределения случайной величины Т; б) F(t)- функцию распределения; в) графики f(t) и F(t); г) числовые характеристики Т (МХ, ДХ,sХ); д) вероятность того, что за 3 минуты поступит 2 вызова.

Тер.вер-ти

Вариант6.

Задание 1. Вычислите вероятности указанных событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8 .Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентов: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам; в) хотя бы по одной дисциплине.

Задание 2. Вычислите вероятности указанных событий используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Экспертно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае- в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта , равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта? Контракт все же заключен, какова вероятность того, что конкурент выдвигал свои предложения ?

Задание3.Вычислите вероятности указанных событий, используя формулу Бернулли

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

Задание4.Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить многоугольник распределения. Найти F(x) и построить ее график . Найти МХ, ДХ, sХ. Найти Р(Х<x₀), P(x₁ ). Случайная величина Х- число проданных автомобилей черного цвета. В магазине имеется 12 автомобилей и среди них 7- черного цвета, 5- белого цвета. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 4 автомобилей. Учесть, что автомобили отбирались случайным образом. х₀=4 х₁=0 х₂=3

Задание5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Найдите: а) значение параметра а, при котором f(x) будет плотностью распределения случайной величины Х; б) интегральную функцию распределения F(x), постройте графики F(x) и f(x); в) числовые характеристики ; г) Найдите Р( .

Задание6.Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d₀=5мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр- случайная величина Х, распределенная по нормальному закону со средним значением d₀ и средним квадратическим отклонением s_d=0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Найдите : а) плотность вероятности случайной величины Х; б) построить график f(x); в) средний процент шариков которые отбраковываются ; г) интервал, в котором практически находится диаметр изготовляемых шариков.