Базовые понятия курса

 

Точечная система - система, которая описываются обыкновенным дифференциальным уравнением.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные —Диф ур-я для ф-ии x(t) — ур-е, содержащее непосредственно ф-ю x(t), ее производные по времени t и, возм-но само время t. Порядок диф ур-я определяется как наивысший порядок производных ф-ии x(t), встречающихся в записи ур-я:

dx/dt = 2x (1 пор.);

d²x/dt² + 4(dx/dt)³ +4x=0 (2 пор.);

d³x/dt³+x²(1+t⁴)=0 (3 пор).

Обычное диф ур-е: dx/dt=f(x;t)

Диф ур-е - линейное, если члены уравнения содержат функцию x(t) и ее производные только в первой степени, и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как xdx/dt ). Иначе — ур-е нелинейное.

Общий вид линейного диф ур-я 1 пор: dx/dt+a(t)x= f(t).

Автономные дифференциальные уравнения — когда правая часть диф ур-я явно не зависит от времени. Система, описываемая этим ур-ем — автономная. Состояние автономных систем в каждый момент времени характеризуется 1 единственной велич — значением переменной x в данный мом-т t. dx/dt= f (x)

Фазовое пространство(плоскость) — пл-ть с осями координат, с отложенными значениями переменных x и y, каждая точка пл-ти соотв определенному сос-ю системы.

Изображающая точка - точка на фазовой плоскости, за поведением которой мы, собственно, наблюдаем.

Фазовая траектория — совокупность точек на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t) и y(t), согласно заданным уравнениям исследуемой системы.

Фазовый портрет — совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных. Построение помогает сделать выводы о характкрк изменений переменных x и y без знания аналитическихтрешений исходной сист ур-ий.

 

Главные изоклины.Изоклина — линия на плоскости, в каждой точке которой, касатель- ные к фазовым траекториям исследуемой системы урав- нений имеют один угол наклона. Главные изоклины (нуль-изоклины) фазовые траектории проходят под углом φ = 0^о (изоклина горизонтальных касательных) и φ=90^о (изоклина вертикальных касательных).

При уравнениях имеющ вид:

⎧dx/dt = P(x, y),

⎨

⎩ dy/dt =Q(x,y).

Тогда уравнение изоклины запишется как: dy/dx = Q(x, y)/P(x,y) = A = const .

Для изоклины горизонтальных касательных уравнение принимает вид:

dy/dx= (Q(x,y))/(P(x,y))= tg0^о =0 или Q(x,y)=0;

для изоклины вертикальных касательных:

dy/dx= (Q(x,y))/(P(x,y)) = tg90^о =∞ или P(x,y)=0.

Особая точка(=стационарное сост-е) — в стац сост-ии значения переменных в системе неменяются со временем, те скорость изменения значений dx/dt =0 (следоват-но) f(x) =0.Корни этого алгебр ур-я — стац.сост-я.

Линеаризация- один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.

Характеристическое уравнение-λ² −(a+d)λ+(ad−bc) =0. Квадратное уравнение имеет два решения λ₁ и λ₂ , при которых возможны ненулевые значения констант

A,B для решения системы уравнений.

Собственные числа(характеристические)— λ_1,2 выражаются через коэффициенты линейных уравнений следующим образом: λ_1,2 = 1/2{(a+d)+[(a+d)² — 4(ad-bc)] ^-1/2}

Разберем возможные варианты значений характерис- тических чисел. В зависимости от знака подкоренного выражения (a+d)² −4(ad−bc) корни характеристического уравнения могут принимать как действительные, так и комплексные значения. От этих значений зависит то, как будет выглядеть фазовый портрет системы.

Собственные вектора- матрицы M, соответствующим собственному числу λ , называется любой отличный от нуля вектор x, который удовлетворяет уравнению Mx = λx.