Гипербола

Жазықтықтың екi нүктесiнен қашықтықтарының айырмасы түрақты (ол нүктелер арасынан кем болады) нүктелерiнiң жиынын гипербола дейдi.

Фокустар мен -нi басып өтетiн тұзудi абцисса осi үшiн, ал олардың ортасы координаталар басы үшiналынған тек бұрышты координаталар жүйесiнде, гиперболаның канондық теңдеуi (1) болады. Мұндағы мен гиперболаның жарты осьтерi делiнедi. Сонымен қатар c>а, (2) болады. Гипербола абцисса осiмен екi нүктеде (33 сызба) қиылысады, ордината осiмен қиылыспайды. -нақты -жорамал осi, центрi делiнедi. .

Гипербола эксцентриситетi (3) және болады. Эксцентриситетi тең гиперболалар өзара ұқсас делiнедi. Гипербола центрiнен өтетiн бұрыштың коэффиценттерi болатын екi тұзу гиперболаның асимптотасы делiнедi.Оның теңдеуi: және (4) болады. Олар қабырғалары 2а, 2b, центрi О болатын тiк төртбұрыштың диагоналы болады, гипербола оларға шексiз жақындай бередi. Гипербола екi тармақтан түрады.

Оң жақ тармақ үшiн(5)

Сол тармақ үшiн: (6) болады.

Гипербола центрiнен қашықтықта, оның нақты осiне перпендикуляр етiп жүргұзiлген тұзулер гиперболаның директрисасы делiнедi.

Оның теңдеуi және (7) болады. Директрисалар гипербола төбелерiнiң арасында жатады және асимптатаны центрден бастап а-ға тең жердi қиады.

Гипербола басында жаткан нүктеден оған жүргұзiлген жанама теңдеуi (8) болады.

 

33-сызба

Гиперболаның кез келген нүктесiнен оның фокусына дейiнгi қашықтықтарының сол фокус жаткан жағындағы директрисаға дейiнгi қашықтығына қатынасы әруақытта тұрақты және гиперболаның эксцентриситетiне тең болады. (9)

Гипербола диаметрiнiң теңдеуi (10) болады. Мұндағы бұл диаметрге тѕйiндес хорданын бұрыштық коэфициентi.

Мына екi және түйiндес гиперболалар өзара түйiндес делiнедi.

Гиперболаның поляр координатасындағы теңдеуi (11) болады. Мұндағы және болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал гиперболаның жарты осьтерiн, фокустарын, эксцентриситетiн табыңдар, директрисасы мен асимптатаның теңдеуiн құрыңдар. Гипербола теңдеуiн канондық кѕйге келтiрiңдер.

Шешуi: теңдеудi қайта топтап, толық квадратқа келтiремiз

Демек гипербола центрi С(1, -2) , жарты осьтерi . Сондықтан эксцентриситетi

Асимтотаның теңдеуi, ол гиперболаның центрiнен, яғни

(1,-2) нүктеде жату керек және бұрыштық коэфициентi болады. Сондықтан асимптатаның теңдеуi Бұдан және Директрисасы центрден қашықтықта жүргiзiлетiндiктен және болады да директриса теңдеуi болады.

2-мысал: гиперболасына 1) тұзуiне параллель болатын, 2) тұзуiне перпендикуляр болатын жанаманың теңдеуiн құрыңдар.

ШешуiЖанасу нүктесi десек, онда және жанама теңдеуi болар едi. Жанама 1) жағдайда түзуiне параллель болатындықтан олардан коэфициенттерi пропорционал болу керек: Мұнымен теңдеуден табылады.Демек жанама теңдеуi және болады

2)Жағдайда түзуi мен түзуi перпендикуляр болу үшiн бұрыштық коэфициенттерi мынадай байланыста болу керек

Мына жүйеден болады да iздеген жанама теңдеуi және болып шығады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1.Гипербола деген не, оның канондық теңдеуi қандай?

2.Екiншi дәрежелi теңдеудiң жалпы түрi (164)

3.Гиперболаны анықтау үшiн оның коэфициенттерi қандай шартты қанағаттандыру керек.

4.Гиперболаның фокус аралығы мен жарты осьтерi арасында қандай қатыс бар.

5.Гипербола эксцентриситетi деген не, оны қалай табады, ол гипербола формасына қалай әсер етедi?

6.Гипербола жанамасы деген не, оның теңдеуi қандай?

7.Гипербола диаметрi, тѕйiндес диаметр деген не, оның теңдеуi қандай?

8.Гипербола нүктесiнiң фокустық радиусы деген не? Әр тармақта жатқан нүктелер үшiн олар неге тең?

9.Гиперболаның директрисасы деген не, оның теңдеуi қандай?

10.Гиперболаның асимптаты деген не, оның теңдеуi қандай?

11.Тең қабырғалы гипербола, тѕйiндес гипербола деген не?

12.Гипербола қалайша конустық қима болады?

13.Гиперболаны қалай салады?

14.Гиперболаның поляр координатасындағы теңдеуi қандай, оның канондық теңдеумен байланысы қандай?

Жаттығу есептерi

450.Егер гиперболаның: 1)осьтерi 2)Фокус аралығы , жорымал осi 3)Фокус аралығы нақты осi , 4)Фокус аралығы , эксцентриситетi , 5)Фокус аралығы , асимптаталарының теңдеуi болса, ол гиперболаның канондық теңдеуi қандай болады?

451.Егер гиперболаның: 1) директрисалар аралығы , фокустар аралығы 2)директрисалар аралығы , жорымал осi , 3)директрисалар аралығы , нақты осi , 4) директрисалар аралығы , эксцентриси-тетi , 5)директрисалар аралығы , асимптатасының теңдеуi болса, ол гиперболаның канондық теңдеуi қандай болады?

452.Гиперболаның:1) эксцентриситетi , нақты осi , 2)эксцентри-ситетi ,жорымал осi ,3)эксцентриситетi ,директриса-лар аралығы болса, ол гиперболаның канондық теңдеуi қандай болады?

453.Гиперболаның: 1)Төбелерiнiң аралығы 8-ге, фокустарының аралығы 10-ға тең болса, 2)Төбесi центр мен фокус аралығын қақ бөлсе, нақты осi 5-ке тең болса, 3)Нақты осi 16-ға тең жiне ол осьпен асимптатасы арасындағы бұрыш болса, 4)Асимптаталары аралығындағы бұрышы , фокустар аралығы болса, онда ол гиперболаның канондық теңдеуi қандай болады?

454.Гиперболаның канондық теңдеуiн табыңдар, егер ол: 1) А(9, -4) нүктеден өтсе және нақты осi 6-ға тең болса, 2) нүктеден өтсе және фокустары болса, 3) нүктеден өтсе және асимптатасының теңдеуi болса, 4) нүктеден өтсе және эксцентриситетi болса, 5) нүктеден өтсе және асимптаталар арасындағы бұрышы болса.

455.Гиперболаның канондық теңдеуiн құрыңдар, егер ол:1) нүктелерден өтетiн болса, 2)Төбелерiнiң аралығы 48-ге тең, асимптатасының теңдеуi болатын болса, 3)Директрисалар арасы -ге тең, асимптатасының теңдеуi болатын болса.

456.Гиперболаның жарты осьтерiн табыңыздар:

457.Гиперболаның: жарты осьтерiн, фокус-тарын, эксцентриситеттерiн, асимптатасының және директрисасының теңдеуiн анықтаңыздар.

458.Гиперболаның:1)фокустар аралығы , директрисалар аралығы 6-ға тең, 2)директрисаларының теңдеуi , асимптаттары арасындағы бұрыш тiк болса, 3)асимптаталарының теңдеуi болса және нүктеден өтетiнi белгiлi болса, осы гиперболаның теңдеуiн құрыңыздар.

459.Директрисаларының ара қашықтығы, сәйкесiнше, 7, 2 және 12,8-ге тең болатын, екi түйiндес гиперболаның теңдеулерi қандай болады?

460.Гиперболаның:1) асимптаталар арасындағы бұрышы болса, 2)асимп-тоталары перпендикуляр болса, онда оның эксцентриситетi неге тең болады?

461.Егер гиперболаның нақты осi оған тѕйiндес гиперболаның фокусынан -пен көрiнсе, ол гиперболаның эксцентриситетi неге тең болады?

462.Тең қабырғалы гиперболаның эксцентриситетi неге тең?

463.Гиперболаның: эксцентриситетi , фокустар аралығы директрисалар аралығынан 2 есе көп. асимптаталар арасындағы бұрышты табыңыздар.

464. гипербола бойынан оның оң фокусынан қашықтығы 4,5 болатын нүктенi табыңдар.

465. гипербола бойынан сол фокустан қашықтығы 7-ге

тең болатын нүктенi табыңыздар.

466. гипербола бойынан абциссасы 10-ға тең, ординатасы оң сан болатын нүкте алынған. Сол нүктенiң фокустық радиустарын және олар арасындағы бұрышты табыңыздар.

467. гипербола бойынан фокустық радиустары

перпендикулярболатын нүктенi табыңыздар.

468. гипербола бойынан сол фокустан қашықтығы оң фокустың қашықтығынан 2 есе көп болатын нүктенi табыңыздар.

469. гипербола бойынан бiр асимптатына дейiнгi қашықтығы екiншi асимптатына дейiнгi қашықтығынан 3 есе аз болатын нүктенi табыңыздар.

470.Түзулердiң: мына гиперболамен қиылысу нүктелерiн табыңыздар.

471. гиперболамен мына

түзулердiң қиылысу нүктелерiн табыңыздар.

472.А(2, -5) нүктеден гиперболаның асимптатына

паралеллель етiп жүргiзiлген түзудi табыңыздар.

473. нүкте гиперболада жатады. Сол нүктенiң

фокустық радиусында жаткан түзудiң теңдеуiн құрыңыздар.

474. нүктенiң гиперболада жататына көз жеткiзiп, ол нүктенiң фокустық радиусын табыңыздар.

475. гиперболаның нүктеде қақ бөлiнетiн

хордасының теңдеуiн анықтаңыздар.

476. гиперболаның М(4, 3) нүктесiнен өтетiн диаметрiнiң және оған түйiндес диаметрiнiң теңдеуiн құрыңыздар.

477. гиперболаның түйiндес диаметрiнiң бiрi

түзуiне параллель.Сол диаметрлердiң теңдеулерiн құрыңыздар.

478. гиперболаға ,нүктелерден жүргiзiлген жанамалардың теңдеулерiн анықтаңыздар.

479. гипербола 1) А(3, 2) 2) С(-9, -2) нүктеден жүргiзiлген жанамалардың теңдеуiн құрыңыздар.

480. гиперболаға , түзудiң жанама болу шартын табыңыздар.

481. гиперболаға түзуiнiң жанасу шартын анықтаңыздар.

482.Гипербола түзуiне М(5; 2,25) нүктеде жанасса,

онда оның канондық теңдеуi қандай болады?

483.Гиперболаның центрi мен жарты осьтерiн табыңыздар, асимптотасы мен директрисасының теңдеуiн құрыңыздар.

484.Гиперболаың центрiмен жарты осьтерiн табыңдар, асимптотасы

мен директрисасының теңдеуiн құрыңыздар

485. гипербола берiлген. Мына ұйғарымдардың дұрыстығын дәлелдеңiздер: 1)Гипербола фокусы мен асимптатасының ара қашықтығы 6-ға тең болады. 2)Гиперболаның кезкелген нүктесiнен асимптаталарына дейiнгi қашықтықтарының көбейтiндiсi түрақты және -ға тең болады.3)Гипербола фокустары оның кезкелген нүктесiнен жүргiзiлген жанаманың екi жағына орналасады.

486.Поляр координатасындағы теңдеуi болатын

гиперболаның жарты осьтерiн табыңыздар.

487.Поляр координатасындағы теңдеуi болатын

гиперболаның канондық теңдеуi қандай болады?

488.Тiк бұрышты координаталар системасында канондық теңдеуi

болатын гиперболаның поляр теңдеуiн анықтаңыздар.

489.Гиперболаның асимптотасы мен директрисасының теңдеуiн табыңыздар.