V тарау.

Екiншi реттi сызықтар

Теңдеуiн қандай да бiр тiк бұрышты координаталар жүйесiнде екiншi дәрежелi теңдеуге келтiруге болатын сызықтарды екiншi реттi сызық дейдi.

Екiншi реттi сызықтың жалпы теңдеуi:

Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 (1) түрiнде болады.

Мұндай теңдеулердi олар құрылған координаталар жүйесiн түрлендiру арқылы ықшамдап, канондық түрге келтiруге болады. Бұл құрамда кейбiр екiншi реттi сызықтар – шеңбер, эллипс, парабола, гипербола қарастырылады.

§1. Шеңбер

Жазықтықтың бiр нүктесiнен бiрдей қашықтықта жататын нүктелердiң жиынын шеңбер дейдi.

Тiк бұрышты хОу координаталар жүйесiнде центрi С(a,b), радиусы R болатын шеңбер теңдеуi: (x-a)2+(y-b)2=R2 (2) болады, ал центрi координаталар басында жатса, онда теңдеу: x2+y2=R2 (3) түрге келедi.

 
 

Шеңберге оның байында жатқан М000) нүктеден жүргiзiлген жанаманың теңдеуi, сәйкесiнше: (x0-a)(x-a)+ (y0-b)(y-b)=R2, (4)

x0x+ y0y=R2 (5) болады.

Центрi координаталар басында жататаын R радиусты шеңбердiң параметрлiк теңдеуi: (6) болады. Мұндағы параметр шеңбербойынан алынған М(х,у) нүктенiң радиус-векторы мен абцисса осi арасындағы бұрыш.

М(х,у) нүктесi үшiн мына өрнек: (7)

ол нүктенiң (2) шеңберге қарағандағы дәрежесi делiнедi. Шеңбер iшiнде жататын нүктелер үшiн ол терiс, шеңбер бойында жататын нүктелер үшiн нөл, шеңберден тыс жататын нүктелер үшiн оң болады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Центрi С(5,-6) нүкте болатын және ордината осiне жанасатын шеңбердiң теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi. Шеңбер ордината осiне жанасатындықтан, оның центрiнiң ордината осiнен қашықтығының абсолют шамасы радиуске тең болады. Демек, R=5. Сондықтан, шеңбер теңдеуi: (x-5)2+(y+6)2=25.

Мұның жақшаларын ашып, Ѕқсас мiшелерiн бiрiктiрiп, былайша жазуға болады: x2+y2-10х+12у+36=0.

2-мысал. x2+y2-10х+2у+10=0 шеңбердiң центрiнiң координаталары мен радиусын тауып, оған координаталар басынан жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi. Берiлген теңдеудi әр айнымалы бойынша қайта таңдап, оны толық квадратқа келтiремiз: (x2-2х*5+52)+(y2+2у*1+12)+10=52+12,

бұдан (x-5)2+(y+1)2=16. Сонда центр С(5,-1), радиус R=4 болады екен, өйткенi теңдеуiнде бос мүше бар және

болғандықтан, координаталар басы шеңберден тыс жатады. Сондықтан, ондай нүктеден шеңберге екi жанама жүргiзуге болады.

Жанама координаталар басынан өтетiндiктен оның теңдеуiн y=kx түрiнде жазуға болады.

Жанасу нүктенi табу үшiн шеңбер мен жанаманың теңдеуiн бiр жүйеге алып шешуiмiз керек:

Егер y=kx жанама болса, ол шеңбермен бiр нүктеде (беттескен екi нүкте) қиылысуы керек. Ол үшiн соңғы квадрат теңдеудiң дискриминанты нөлге тең болуы керек: бұдан

Сонда iздеген жанама теңдеулерi: және

Немесе және болады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Шеңбер деген не, оның радиусы, диаметрi деген не? Дөңгелек деген не?

2. Шеңбердiң кескiнi салынған. Оның центрiн қалай табуға болады?

3. Шеңбердiң теңдеуi қандай болады?

4. Шеңберге жанама тұзу қандай шарттарды қанағаттандыруы керек?

5. Шеңберге қандай нүктеден жанама жүргiзуге болады?

6. Шеңбер жанамасының теңдеуi қандай, ол нешiншi реттi сызық болады?

7. Шеңберге қандай нүктеден тек бiр, қандай нүктеден екi жанама жүргiзуге болады?

8. Нүктенiң шеңберге қарағандағы дәрежесi деген не?

Жаттығу есептерi

376. 1) центрi координаталар басында жататын, радиусы 4-ке тең,

2) центрi С(1,-2) нүкте болатын, радиусы 3-ке тең,

3) центрi С(3,-4) нүкте болатын және координаталар басынан өтетiн,

4) диаметрiнiң Үштары А(1,4) және В(-3,2) нүктелер болатын шеңбердiң нормаль теңдеуiн құрыңдар.

377. 1) центрi абцисса осiнде жататын және А(2,3), В(5,2) нүктелерiн басып өтетiн, 2) центрi ордината осiнде жататын және C(1,-2), D(-3,2) нүктелерiн басып өтетiн, 3) центрi х-у+2=0 тұзуiнде жататын және Е(3,0), F(-1,2) нүктелерiн басып өтетiн шеңбердiң теңдеуiн құрыңдар.

378.Шеңбердiң центрi мен радиусын анықтаңдар:

1) x2+y2-6x=0, 2)x2+y2+6x-8y=0, 3)x2+y2-10x+24y-56=0,

4) 3x2+3y2+6x-4y-1=0.

379.Үш нүктенi басып өтетiн шеңбердiң теңдеуiн құрыңдар: 1) А1(0,2), В1(1,1), С1(2,-2); 2) А2(4,5), В2(1,-4), С2(3,-2); 3) А3(1,2), В3(3,-2), С3(0,4).

380.P(3,1), R(2,0), S(-2,0), Q(-1,1) нүктелерi x2+y2=4 шеңберге қарағанда қалай орналасады?

381.1) x-2y+5=0, 2) 5x-12y+26=0, 3) 3x-4y+30=0, 4) x+y-17=0

тұзулерi x2+y2=36 шеңберге қарағанда қалай орналасады?

382.1) x-y-4=0, 2) 3x-4y+36=0, 3) x-y-5=0 тұзулерi x2+y2+2x-4y-20=0 шеңбердiң қиылысу нүктелерiн табыңдар.

383.Мына (x-1)2+y2=4 шеңбердiң нүктеде қақ бөлiнетiн хордасының теңдеуiн анықтаңдар.

384.Абцисса осiне А(6,0) нүктеде жанасатын және В(9,9) нүктеден өтетiн шеңбердiң теңдеуiн құрыңдар.

385.Ордината осiне В(0,-3) нүктеде жанасатын, радиусы 2-ге тең болатын шеңбердiң теңдеуiн құрыңдар.

386.Шеңбер А(2,9) нүктеден өтiп, екi координаталар осiне де жанасу үшiн теңдеуi қандай болады?

387.Центрi С(-4,5) нүкте болатын және 3x-2y-6=0 тұзуiне жанасатын шеңбердiң теңдеуi қандай болады?

388.А(1,0) нүктеден өтетiн және 2x+y+2=0, 2x+y-18=0 тұзулерiне жанасатын шеңбердiң теңдеуi қандай болады?

389.x2+y2=15 шеңберге М(1,-2) нүктеден жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн табыңдар.

390.(x-1)2+(y-2)2=25 шеңберге М(5,5) нүктеден жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн табыңдар.

391.x2+y2-2x-3y=0 шеңберге М(0,3) нүктеден жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн құрыңдар.

392.x2+y2-10x-4y+25=0 шеңберге координаталр басынан жүргiзiлген жанаманың теңдеуiн құрыңдар.

393. y=kx тұзуi бұрыштық коэффициентi қандай болғанда x2+y2-10x+16=0 шеңберге: 1) жанасады, 2) қиылысады, 3) қиылыспайды.

394.x2+y2+4x-6y-17=0 шеңбердiң 5x+2y-13=0 тұзуге перпендикуляр болатын диаметрiнiң теңдеуi қандай болады?

395.Мына x2+y2=25 шеңбердiң 4x-y+5=0 тұзуiне параллель болатын диаметрiнiң теңдеуi қандай болады?

396. (x+4)2+(y+3)2=16 шеңбердiң D(5,6) нүктесiнен өтетiн диаметрiнiң теңдеуi қандай болады?

397.Шеңберлердiң центрлер сызығының теңдеуiн құрыңдар:

1) x2+y2-8x+6y-9=0, x2+y2-4x+4y-8=0;

2) x2+y2+2x-12y+1=0, x2+y2-6x+8y=0.

398.Нүкте мен шеңбердiң ең қысқа қашықтығын табыңдар:

1) А(6,-8), x2+y2=9; 2) В(3,9), x2+y2-26x+30y+313=0;

3) C(-7,2), x2+y2-10x-14y-151=0.

399.Шеңберлердiң қиылысу нүктелерiн табыңдар:

(x-1)2+(y+3)2=9 және (x+3)2+(y-2)2=4.

(x-2)2+(y-1)2=16 және (x+1)2+(y-1)2=25.

400.Шеңберлердiң қиылысу нүктелерiн табыңдар:

x2+y2-2y-26=0, x2+y2-2x+4y-8=0.

x2+y2-4y+2=0, x2+y2+4x+2=0.

401.Төбелерi: А(-5,-2), В(4,-3), С(2,3); 2) D(3,4), Е(-2,1), F(1,-6)

болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердiң теңдеуi қандай болады?

402.Төбелерi: А(2,-14), В(-2,14), С(-5,-7); 2) D(-5,-7), Е(-9,-5),F(-6,5;16)

болатын үшбұрышқа iштей сызылған шеңбердiң теңдеуi қандай болады?

403.М(0,-6) нүктеден (x-1)2+(y+1)2=25 шеңбер қандай бұрышпен көрiнедi?

404.Координаталар басынан мына x2+y2-2x+2y+1=0 шеңбердiң көрiну бұрышы қандай?

405.x2+y2-10x+2y+10=0 шеңберге: 1) А(0,-1), 2) В(1,-1) нүктеден жүргiзiлген жанаманың ұзындығы неге тең?

406.Берлiген: 1) С(2,0), 2) О(0,0) нүктеден мына x2+y2-10x+2y+10=0 шеңберге жүргiзiлген жанаманың Ұзындығын табыңдар.

407.Мына екi шеңбердiң (x-2)2+(y-1)2=1 және (x+2)2+(y+1)2=9 ортақ жанамасының теңдеуiн құрыңдар.

408.Мына екi шеңбердiң (x-3)2+(y-1)2=25 және (x-6)2+(y+3)2=100 ортақ жанамасының теңдеуiн құрыңдар.

409.Мына екi шеңберге x2+y2-8x+6y=0, x2+y2-10y=0 қарағанда дәрежелерiнiң қатынасы түрақты болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

410.Радиусы R-ге тең, центрiнiң поляр координаталары болатын шеңбердiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

411.Радиусы R-ге тең, центрiнiң поляр координаталары болатын шеңбердiң поляр координатасындағы теңдеуi қандай болады?

412.Шеңбердiң: радиусы мен цен-трiнiң поляр координаталарын табыңдар.

413.Шеңбердiң радиусы мен центрiнiң поляр координаталарын табыңдар.

414.Шеңбердiң поляр теңдеулерi: берiлген. Поляр осiн абцисса осi үшiн, полюсiн координаталар басы үшiн алып, шеңбердiң тiк бұрышты координаталар жүйесiндегi теңдеуiн анықтаңдар.

415.Шеңбердiң бiр поляр координатасындағы теңдеуi: берлiген. Абциссасы поляр осiмен, төбесi полюспен сай келетiн тiк бұрышты координаталар жүйесiндегi шеңбер теңдеуi қандай болады?

 

Эллипс

Жазықтықта F1 және F2 нүктеден қашықтықтарының қосындысы түрақты болатын және фокус арасынан ортақ болатын нүктелердiң жиынын эллипс дейдi.

Егер фокустар F1 және F2 арасының ортасын тiк бұрышты координаталар жүйесiнiң басы, F1F2 тұзудi абцисса осi үшiн алса (33-сызба), онда эллипстiң теңдеуi: (1) болады. Мұндағы a,b–эллипстiң жарты осьтерi делiнедi және (2) болады. Теңдеу эллипстiң канондық (жай) теңдеуi делiнедi.

Эллипстiң параметрлiк теңдеуi: (3)

болады, параметр t–ағымдық нүктенiң радиус-векторының абцисса осiмен жасайтын оң бұрышы.

Эллипстiң фокус аралығының үлкен осiне қатынасын оның эксцентриситетi дейдi: (4 ) Эллипс үшiн болады. Эксцентриситетi тең эллипстер ұқсас делiнедi.

Эллипстiң кез келген М нүктесiн оның фокусына қосатын кесiндiнi ол нүктенiң фокустық радиусы дейдi. Олар: (5)

формуламен табылады. Мұндағы х берiлген М нүктенiң абциссасы.

Эллипстiң фокустық осьтерiне перпендикуляр болатын және центрден қашықтықта өтетiн екi тұзудi эллипстiң директрисасы дейдi.

Оның теңдеуi: және (6) болады. Ол эллипстен тыс жатады.

Эллипстiң кез келген нүктесiнен фокусқа дейiнгi қашықтығының сол фокус жатқан жағындағы директрисаға дейiнгi қашықтығына дейiнгi қатынасы түрақты болады және ол эллипстiң эксцентриситетiне тең болады:

(7) Эллипске М000) нүктесiнде жанасатын жанамасының теңдеуi: (8) болады.

Практика жұзiнде, эллипстiң М0 нүктесiнен жанама жүргiзу үшiн, ол нүктенi F1 және F2-мен жалғау керек, оның бiрiн М0-дан әрi созу керек. Сонда F1 мен F2 бұрыштың сыбайлас бұрышының биссектрисасы жанама болады.

 
 

Эллипстiң кез келген диаметрiне параллель хордалардың орталарының жиыны тағы да диаметр жасайды. Бұл екi диаметр өзара түйiндес делiнедi. Түйiндес диаметрлердiң бұрыштық коэффициенттерi арасында мынандай байланыс болады: . (9)

Сонда бұрыштық коэффициентi болатын диаметрге (хордаға) түйiндес диаметрдiң теңдеуi (10) болады.

Эллипстiң поляр теңдеуi: (11) болады және болу керек.

Тi кбұрышты координаталар жүйесiндегi эллипстiң теңдеуi (1) мен (11) арасында мынандай байланыс болады: (12)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. 5x2+9y2-30x+18y+9=0 теңдеудiң эллипстi анықтайтынына көз жеткiзiп, оның центрiн, жарты осьтерiн, фокустарын тауып, директрисаның теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi. Теңдеудi қайта топтастырып, оны толық квадратқа келтiремiз:

(*)

Бұл эллипстiң теңдеуi. Оның центрi С(3,-1) болады. Жарты осьтерi Бұлардан

Фокус центрден 2-ге тең қашықтықта жатады екен. Сондықтан, 3+2=5, 3-2=1 болғандықтан, фокустар F1(1,-1), F2(5,-1). Эксцентриситет болады. Ал, директриса эллипс центрiнен қашықтықта жату керек. Сондықтан, 3-4,5=-1,5 және 3+4,5=7,5 болатындықтан,директриса теңдеуi және немесе 2x+3=0 және 2x-15=0 болады.

2-мысал. Поляр координатасында теңдеу берiлсiн. Оныңэллипстiң теңдеуi екенiне көз жетуiзiп, оның жарты осьтерiн эксцентриситетiн, фокустарын табыңдар. Директрисасының теңдеуiн құрыңдар. Эллипстiң декарт координаталар жүйесiндегi теңдеуiн анықтаңдар.

Шешуi. Берiлген теңдеудiң оң жағындағы өрнектiң алымын да, бөлiмiн де 3-ке бөлемiз. Сонда: шығады. Мұндағы: болғандықтан, берiлген теңдеу эллипстi анықтайды.

Ал, эллипс үшiн болатын. Ал, , бұлардан:

Демек, F1(6,0), F2(-6,0).

Эллипстiң директрисасының теңдеуi: бұдан 2x+27=0 және 2x-27=0 шығады. Эллипстiң тiк бұрышты декарттық координаталар жүйесiндегi теңдеуi: болады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Эллипс деген не? Оның канондық теңдеуi, параметрлiктеңдеуi қандай болады?

2. Эллипстiң жарты осi, фокусы деген не?

3. Екiншi реттi сызықтың жалпы теңдеуi (64) эллипстi анықтау үшiн оның коэффициенттерi қандай шартды қанағаттандыруы керек?

4. Эллипстiң фокус аралығы мен осьтерi арасында қандай қатыс бар?

5. Эллипстiң эксцентриситетi деген не, оның геометриялық мағынасы қандай?

6. Эллипстiң жанамасы деген не, оның теңдеу қандай?

7. Эллипстiң диаметрi, тѕйiндес диаметр деген не, олар арасында қандай қатыстар бар?

8. Эллипс нүктесiнiң фокустық радиусы деген не, оның теңдеуi қандай?

9. Эллипстiң директрисасы деген не, оның теңдеуi қандай?

10. Эллипстi неге фокустық қима дейдi?

11. Эллипстiң поляр координатасындағы теңдеуi қандай? Оның канондық теңдеумен байланысы қандай?

12. Эллипстiң шеңберме байланысы қандай?

13. Эллипстi қалай салады, оның жанамасын қалай салады?

Жаттығу есептерi

416.Эллипстiң теңдеуiн құрыңдар, егер: Жарты осьтерi 3 және 2,

Үлкен осi 10, фокустар арасы 6; Кiшi осi 24, фокустар арасы 10,

Фокустар арасы 6, эксцентриситетi 0,6,

417.Эллипстiң: Кiшi жарты осi 5, эксцентриситетi 12/13; Директрисалар арасы 5, фокустар арасы 4; Директрисалар арасы 13, кiшi жарты осi 6; Директри-салар арасы 32, эксцентриситетi 1/2, болса, оныңтеңдеуi қандай болады?

418.Эллипстiң:1) фокустарын және эксцентриситетiн табыңыздар.

419.Эллипстiң:1) 2) осьтерiнiң ұзындықтарын, фокустарының кординаталарын, эксцентриситетiн тауып, директрисасы-ның теңдеуін құрыңыздар.

420.Бiр фокусының үлкен осiнiң ұштарының қашықтығы 1 және 7 болатын эллипстiң теңдеуi қандай болады?

421. нүктелер

эллипске қарағанда қалай орналасады?

422. нүктелер

элипске қарағанда қалай орналасады?

423.1)Кiшi жарты осi 3 болатын және нүктеден өтетiн, 2)Үлкен жарты осi 4 болатын және нүктеден өтетiн, 3) нүктелерден өтетiн элипстiң теңдеуiн құрыңдар.

424.1)Фокустар арасы 8 болатын және нүктеден өтетiн, 2)Эксцентриситетi 2/3 болатын және нүктеден өтетiн, 3)Директрисалар арасы 10 ға тең болатын және нүктеден өтетiн эллипстiң теңдеуiн құрыңыздар.

425. элипстiң абциссасы 1) 2, 2) , 3)1 болатын нүктесiн табыңыздар.

426. элипстiң фокустарының координаталарын таппай

қалай салуға болады?

427. эллипстiң бойынан , оның кiшi осiнен 5-ке тең

қашықтықтағы нүктесiн табыңыздар.

428. эллипстiң үлкен осiнiң ұштары мен бiр директрисасы арасын табыңыздар.

429.М(-4; 2,4) нүктесiн . эллипсте жататынына көз жеткізіп,

ол нүктенiң фокустық радиустарын табыңыздар.

430. эллипстiң нүктесiнiң фокустың радиустары жаткан түзуден теңдеулерiн құрыңыздар.

431. элипстiң фокусынан осiне параллель етiп жүргiзiлген эллипстi нүктеде қиады. Бұл нүктелердiң фокустан қашықтығын және хорданың ұзындығын табыңыздар.

432. элипске iштей сызылған квадраттың қабырғаларының ұзындығын табыңыздар.

433. элипске бiр төбесi үлкен осьтiң оң жақ ұшымен бiрлесетiн тең қабырғалы үшбұрыш iштей сызылған. Сол үшбұрыштың төбелерiнiң координаталарын табыңыздар.

434.Абцисса осiне А(3, 0) нүктеде ордината осiне В(0, -4) нүктеде жанасатын және симметрия осьтерi координаталар остерiне параллель болатын элипстiң теңдеуiн құрыңыздар.

435.Координаталар остерiне жанасатын центрi С(-3, 2) нүкте болатын , симме-трия осьтерi координаталар осьтерiне параллель болатын элипстiң тең-деуiн құрыңыздар.

436.Мына теңдеулермен: 1)

2) 3) элипс берiлгенiне көз жеткiзiп, олардың центрiнiң координаталарын, жарты осьтерiн, эксцентриситетiн және директрисасының теңдеуiн табыңыздар.

437.Эллипс пен түзудiң қиылысу нүктелерiн табыңыздар:

1) 2)

3)

438.Эллипс пен түзудiң өзара орналасу күйiн анықтаңыздар:

1) 2)

3)

439. эллипске түзуiнiң жанама болу шартын

анықтаңыздар. түзуiнiң жанасу шартын аныктаңыздар.

440.Берiлген эллипске берiлген нүктеден жүргiзiлген жанаманың

теңдеуiн құрыңыздар: 2) 3)

441. эллипстiң түзуге параллель жанамасының

теңдеуiн құрыңыздар.

442. эллипстiң центрден 3-ке тең қашықтықтағы жанамасының теңдеуiн құрыңдар.

443. нүктеден өтетiн түзуге жанасатын эллипстiң теңдеуi қандай болады?

444.Төбелерi эллипстiң төбелерiмен беттесетiн параллелограмның ауданын табыңдар.

445.Мына эллипстердiң орта жанамаларының теңдеуiн құрыңдар:

1) және 2) және

446.Эллипстiң поляр координатасындағы теңдеуi

берiлген. Полюстi фокус поляр осiн фокустың осi үшiн алып, эллипстiң жарты осьтерiн табыңдар.

447.Эллипстiң поляр координатындағы теңдеуi берiлген.Полюс үшiн үшiн, поляр осi үшiн түзу алынған болса, эллипстiң жарты осьтерi неге тең болады?

448.Поляр координаталарында берiлген эллипстiң теңдеуiн,полюстi- фокус үшiн, поляр осiн-абцисса үшiн алған тік бұрышты координаталар жүйесiндегi канондық теңдеуiн табыңдар.

449.Эллипстегi 1) 2) теңдеулерiн поляр координатасында жазыңдар. Мұнда полюс үшiн бiр фокусын осi үшiн бұл фокутан екiншi фокусқа бағытталған тұзудi алу керек.