Берiлген базистегi вектор координаталары 6 страница

олар беттесетiн болса, онда: (26)

олар қиылысатын болса, онда: (27) болады.

Ол екi түзу қиылысатын болса, онда олардың қиылысу нүктесiнен өтетiн түзулер теңдеуi (түзулер шоғының теңдеуi):

(28)

болады. Екi түзу арасындағы бұрыш: (29)

формуламен табылады.Бұдан екi түзудiң параллель болу шарты:

(30) және перпендикуляр болу шарты: (31)шығады.

М₀(x₀,y₀) нүкте мен (14) және (21) түрде берiлген түзулердiң ара қашықтығы: (32) (33)формулалармен табылады.

М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂) нүктемен Ах+Ву+С=0 түзуi үшiн:

(34)

болса, онда М₁ мен М₂ берiлген түзу анықтайтын екi жарты жазықтықтың бiреуiнде жатады, ал егер: (35)

болса, екi нүкте екi жарты жазықтықта жатады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде 2x+3y-6=0 теңдеумен түзу берiлген. Төмендегiлердi табайық:

Түзудiң бағыттаушы векторы .

Түзудiң бұрыштық коэффициентi

Түзудiң нормаль векторы .

Түзудiң абцисса осiнiң оң бағытымен жасайтын бұрышы

, бҮдан .

Түзудiң теңдеуi нормаль түрде емес, себебi Оның нормальдаушы көбейткiшi: болады, себебi

болады.

Түзудiң координаталар осiнен қиып түсетiн кесiндiлерiн табайық. Ол үшiн теңдеудiң екi жағын да босмүше 6-ға бөлемiз:

Демек, абцисса осiнен а=3, ордината осiнен b=2 кесiндi

қияды (координаталар басынан есептегенде).

Түзудiң координаталар басынан қашықтығын табайық. Ол үшiн түзу теңдеуiн нормаль күйге келтiрiп, айнымалылар орнына О(0,0) нүкте координаталарын қою керек.

Түзуге параллель болатын түзу теңдеуiн құрыңдар. Ол үшiн

айнымалылар коэффициенттерi пропорционал болатындай

теңдеу құру керек, бос мүшенiң орнына кез келген нақты

санды қою керек. Мысалы, 4x+6y-7=0, 6x-9y+1=0 түзулер

берiлген түзуге параллель болады.

Түзуге перпендикуляр болатын түзу теңдеуiн құрыңдар. Ол үшiн белгiсiздiң коэффициентiн (31) шарт орындалатындай етiп таңдап алу керек, яғни 2A₂+3B₂=0 болу керек. БҮдан болғандықтан, A₂=3 десек B₂=-2, A₂=6 десек B₂=-4 болады. Сонда 3x-2y+1=0, 6x-4y-1=0 десек (бос мүше еркiн алынды) түзулер берiлген түзуге перпендикуляр болады. Олар арасында (88) шарттың орындалатынын тексерiңдер.

Түзудiң координаталар осьтерiмен қиылысу нүктелерiн табыңдар, ол үшiн берiлген теңдеудi абцисса осiнiң теңдеуi y=0 және ордината осiнiң теңдеуi х=0 – мен бiр жүйеге алып шешу керек:

және

БҮдан x=3, y=0, A(3,0) және y=2, x=0, B(0,2) нүктелер табылады.

Берiлген түзуде жататын нүктенi табыңдар. Ол үшiн не х-ке, не у-ке еркiн мән берiп, екiншi айнымалыны табамыз. Мысалы, болады да, нүкте түзуде жатады.

2-мысал. және теңдеулермен екi түзу берiлген. Олар қиылысады ма, қиылысса арасындағы бұрыш қандай болады?

Шешуi. Теңдеулердiң коэффициенттерi болғандықтан түзу-лер қиылысады. Ол түзулер арасындағы бұрыш (29) бойынша

Сондықтан,

3-мысал. А(5,4), В(1,3), С(1,4), D(0,3) нүктелер 2x-3y+7=0 түзуге қарағанда қалай орналасқан?

Шешуi. Түзу теңдеуiне нүкте координаталарын қойсақ,

Демек, В түзу бойында жатады, А түзудiң бiр жағында, С мен D екiншi жағында жатады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Түзудiң бұрыштық коэффициентi деген не, оны табу формулалары қандай?

2. Қандай түзудiң бұрыштық коэффициентi оң, нөл, терiс болады және болмайды?

3. Түзудiң берiлу тәсiлдерi қандай?

4. Түзудiң теңдеулерi қандай:

a. берiлген нүктеден берiлген бағытта өтетiн,

b. бұрыштық коэффициенттi теңдеуi,

c. кесiндiдегi теңдеуi,

d. екi нүктеден қтетiн түзу теңдеуi,

e. түзудiң жалпы теңдеуi,

f. нормаль теңдеуi,

g. толымсыз теңдеулерi.

h. Жалпы күйде берiлген түзудiң бағыттаушы векторын, нормаль векторын, бұрыштық коэффициентiн қалай табады?

5. Түзулер арасындағы бұрыш деген не және оны қалай табады?

6. Түзулердiң параллель, перпендикуляр болу шарттары қандай?

7. Екi түзудiң беттесу, қиылысу және қиылыспау шарттары қандай?

8. Түзудiң нормаль теңдеуi деген не және оны қалай табады?

9. Нүктенiң түзуден қашықтығы деген не және оны қалай табады?

10. Түзудiң нормалi деген не, нормаль векторды қалай табады?

11. Екi нүктенiң, түзудiң бiр жағында, екi жағында жату шарты қандай?

 

Жаттығу есептерi

I. Берiлген нүктеден берiлген бағытта өтетiн түзу теңдеуi. Түзудiң бұрыштық коэффициенттi теңдеуi

232. Мына нүктелердi: басып өтетiн түзулердiң бұрыштық коэффициенттерiн табыңдар.

233. Абцисса осiнiң оң бағытымен бұрыш жасайтын түзулердiң бұрыштық коэффициенттерiн табыңдар.

234. Координаталар басынан өтетiн және абцисса осiне еңкею бұрышы: 1) 45⁰, 2) 60⁰, 3) 135⁰ болатын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

235. 299. Бұрыштық коэффициентi 5-ке тең болатын және 1) В₁(0,3), В₂(0,-3) нүктеден өтетiн түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

236. Ордината осiнен 5-ке тең кесiндi қиып түсетiн, бұрыштық коэффициентi: 1) k=2, 2) k=-2 болатын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

237. Мына түзулердiң бұрыштық коэффициенттерiн және ордината осiнен қиып түсетiн кесiндiлерiн табыңдар:

238. Нүктелердiң: А(3,1), В(2,3), С(6,3), D(-3,-3), Е(3,-1) қайсысы түзуiнде жатады?

239. түзуiнде жататын: абциссалары 1)1, 2)2, 3)3, 4)-3, 5)-1 болатын; ординаталары 1)0, 2)-3, 3)1, 4)6, 5)-6 болатын нүктелердiң координаталарын табыңдар.

240. Мына теңдеумен берiлген түзудi салыңдар:y=3x+1, 2) y=-3x+1, 3) y=4x, 4) y=2x-1, 5) y=2x+1, 6) y=-x, 7) y=x.

241. Мына түзулер арасындағы бұрышты табыңдар:

242. түзуiне:1) параллель, 2) перпендикуляр болатын түзудiң бұрыштық коэффициентiн табыңдар.

243. Координаталар басынан: 1) y=2x+5 түзуiмен 45⁰ бұрыш жасайтын, 2)y=x-1 түзуiмен 60⁰ бұрыш жасайтын, 3)y=-2x+3 түзуiне перпендикулр болатын, 4) түзуiне параллель болатын түзулер жүргiзiлген. Сол түзулердiң теңдеулерiн табыңдар.

244. Мына түзулердiң:

қиылысу нүктелерiн табыңдар.

245. А(3,-4) нүктеден өтетiн бұрыштық коэффициенттерi: болатын түзулердiң теңдеулерi қандай болады?

246. Бұрыштық коэффициенттерi k=3 болатын және А(2,1), 2) В(3,-4), 3) С(-1,3), 4) D(0,5), 5)Е(4,0), 6) F(-2,-3) нүктеден өтетiн түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

247. А(-3,5) нүктеден өтетiн және мына түзулерге: 1)5х-у-3=0, 2) 3x-6y+1=0,

3) 2х+y-7=0 параллель болатын түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

248. В(1,2) нүктеден өтетiн және мына түзулерге:2х-3у+11=0, 2) 6x+8y+7=0, 3) х-2y+1=0 перпендикуляр болатын түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

249. Бiр нүктесi мен бұрыштық коэффициентi бойынша түзудi салыңдар:

250. Мына түзулердiң: 1)3х-2у+12=0, 2)2x+5y-10=0, 3)2х-y-4=0, 4) x=2y, 5)2y+8=0ордината осiнен қиып түсетiн кесiндiлерiн және бұрыштық коэффициенттерiн табыңдар.

251. А(3,2) нүктеден бағытында өтетiн түзудiң теңдеуi қандай болады?

II. Түзудiң жалпы теңдеуi. Екi нүктенi басып өтетiн түзудiң теңдеуi. Түзудiң кесiндiлiк теңдеуi. Нүктенiң түзуге қарағандағы орналасуы

252. Екi нүктеден: 1) М₁(1,-1), М₂(-1,1); 2) N₁(2,-1), N₂(3,4); 3) D₁(3,3), D₂(-2,2); 4) К₁(-4,-1), К₂(-1,-3) өтетiн түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

253. Нүктелер А(2,-8) мен В(-1,7)-дан өтетiн түзудiң бұрыштық ко-эффициентiн және ордината осiнен қиып түсетiн кесiндiсiн табыңдар.

254. Мына түзулердiң:

бағыттаушы векторларын табыңдар.

255. М(2,1) нүктеден өтетiн және 5x+y-17=0 түзуге: параллель, перпендикуляр болатын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

256. Мына түзулердiң: 1)3х+4у-25=0, 2)x+y-7=0, 3)2х-y=0, 4)4x-3y-15 =0, 5)2x-3y=0 қайсысы координаталар басынан, қайсысы М(3,4) нүктеден өтедi?

257. 2х-3у-6=0 түзуi мен координаталар осьтерiнiң қиылысу нүктелерiн табыңдар.

258. Түзулердiң қиылысу нүктесiн табыңдар:

259. Қабырғалары мына түзулерде: 4х+3у-5=0, х-3у+10=0, х-2=0

жататын үшбұрыштың төбелерiн табыңдар.

260. Түзулер арасындағы бұрышты табыңдар:

1) 5х-у+7=0, 3х+2у=0; 2) 3x-2y+7=0, 2х+3у-3=0;

3) х-2y-4=0, 2х-4у+3=0; 4) 3x+2y-1=0, 5х-2у+3=0.

261. Төбелерi А(4,6), В(-4,0), С(-1,-4) болатын үшбұрыштың: қабырғалары-ның, 2) С төбеден жүргiзiлген медиананың, 3)В төбеден жүргiзiлген биссектрисасының, 4) А нүктеде жүргiзiлген биiктiгiнiң теңдеуiн құрыңдар.

262. Трапецияның А(-2,-2), В(-3,1), С(7,7), D(3,1) төбелерi болатынын дәлелдеңiздер. Оның орта сызығы диагональдарының теңдеуiн құрыңдар.

263. Түзулердiң: 1)3х-2у-12=0, 2)2x-5y+10=0, 3)y=2х-4, 4)x=2y, 5)y=3х, 6)x+3-6y=0 абцисса , ордината осьтерiнен қиып түсетiн кесiндiлерiн табыңдар.

264. Координаталар осьтерiнен:

кесiндiлер қиып түсетiн түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

265. А(2,3) нүктеден өтетiн және координаталар осьтерiнен теңдей кесiндiлер қиятын түзудiң теңдеулерiн құрыңдар.

266. Координаталар осьтерi арасындағы кесiндiсi А(6,1) нүктеде қақ бөлiнетiн түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

267. Координаталар осьтерi және x+2y+6=0 түзумен шектелетiн үшбұрыштың ауданын табыңдар.

268. Нүктелер: 1) А(10,12), В(1,-2), С(-3,-8); 2) А(5,7), В(1,3), С(10,12);

А(3,1), В(6,3), С(-3,-3) бiр түзуде жатады ма, жоқ әлде жатпайды ма?

269. Екi түзудiң өзара орналасу жағдайларын зерттеңдер:

1)х+5у-35=0, 3х+2у-27=0; 2) 3x+5y-4=0, 6х+10у+7=0;

3) 2х+3у-4=0, 4х+6у-8=0; 4) 2х-4у+3=0, х-2у=0;

5) 8х-33у-19=0, 12х+55у-19=0.

270. Үш түзу бiр нүктеде қиылысады ма:

1)2х+3у-1=0, 4х-5у+5=0, 3х-у+2=0; 2)3x-y+3=0, 5х+3у-7=0,

х-2у-4=0; 3) 2х-у+1=0, х+2у-17=0; х+2у-3=0.

271. Мына түзулер: ax+by+1=0, 2х-3у+5=0, х-1=0 бiр нүктеде қиылысу үшiн a мен b қандай шартты қанағаттандыруы керек.

III.Түзудiң нормаль теңдеуi

272. Мына түзулердiң қайсысы нормаль теңдеуiмен берiлген:

273. Түзудiң жалпы теңдуiн нормаль түрге келтiрiңдер:

1) 4х-3у+10=0, 2) x+5y+4=0, 3) 5х+12y-39=0, 4) x-2y+3=0,

5) x- y=4, 6) 6х+8у-15=0.

274. Түзулердiң: 1) 5х-12у+39=0, 2) х+у-8=0 координаталар басынан қашықтығын және абцисса осiмен жасайтын бұрышын табыңдар.

275. Нүктелердiң түзуден ауытқуын табыңдар:

1) А(-3,2), 4х-7у+26=0; 2) В(-2,3), 3x-4y-2=0; 3) С(8,5),

3х-4y-14=0; 4) D(-1,2), 8x-6y+5=0; 5) Е(2,7), 12x+5y-7=0.

276. А(3,1), В(2,-4), С(5,-1), D(0,-3), О(0,0) нүктелердiң

3х+4у=0 түзуден қашықтығын табыңдар.

277. Қабырғалары 3х+4у+390=0 түзулерде жататын үшбұрыштың биiктiктерiнiң ұзындықтарын табыңдар.

278. Төбелерi А(3,-2), В(5,3), С(-4,1) болатын үшбұрыштың биiктiгiнiң ұзындығын табыңдар.

279. А(2,4) нүкте мен координаталар басы мына түзулер: 1) 2х+3у+1=0,

2) x-y+3=0, 3) 3х-y+5=0, 4) 5x+y-6=0, 5) x+2y-8=0 анықтайтын жарты жазықтықтардың бiреуiнде жатады ма, жоқ па?

280. А(-2,-3) мен В(1,-2) ұшы болатын кесiндi мен 2x-3y+6=0

түзуiнiнң қиылысатынын дәлелдеңдер.

281. А(-5,1) және В(3,7) нүктелердiң 2x+y+3=0 түзудiң екi жағында жататынын дәлелдеңдер.

282. Төбелерi А(-3,5), В(-1,4), С(7,-1), D(2,9) болатын төртбұрыш дөңес болады ма, жоқ па?

283. А(-8,-12) нүктенiң В(2,-3) және С(-5,1) нүктелерден өтетiн түзудегi проекциясын табыңдар.

284. А(8,-3) нүктенiң В(3,-4) мен С(-1,-2) нүктелердi басып өтетiн түзуге қарағандағы симметриялы нүктесiн табыңдар.

285. х-у-1=0 түзуге қарағанда А(3,4) нүктеге симметриялы нүкте координаталары неге тең?

286. Мына нүктелерден: 3х+4у-10=0, 5х-12у+26=0 қашықтығы 5-ке тең болатын нүктенi табыңдар.

287. 2х-у-5=0 түзуiнiң басынан А(-7,1) мен В(-5,5) нүктелерiнен қашықтықтарының қосындысы ең аз болатын нүктенi табыңдар.

288. А(-2,3) нүктесiнен өтетiн және В(3,7) мен С(5,-1) нүктелерiнен бiрдей қашықтықта жататын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

289. Мына түзулер:

арасындағы бұрыштың биссектрисасының теңдеуiн құрыңдар.

290. Түзулер: 8х-2у+5=0, х+4у-6=0 жасайтын бұрыштардың координаталар басы жатпайтынына, жүргiзiлген биссектрисасының теңдеуiн құрыңдар.

291. 7х+6у-18=0 және 9х-2у18=0 түзулерiнiң қиылысуынан шыққан төртбұрыштың iшiнде А(2,-3) нүкте жатпайтынына жүргiзiлген биссектрисаның теңдеуiн құрыңдар.

IV. Түзулер шоғы

292. Мына түзулердiң: 2х+5у-8=0, х-3у+4=0 қиылысу нүктесiнен өтетiн және 1) координаталар басынан өтетiн, 2)М(4,3) нүктесiн басып өтетiн түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

293. Мына түзулердiң: 3х+6у-7=0, х-2у+5=0 қиылысу нүктесiнен өтетiн және 1)абцисса осiне параллель болатын,2)ордината осiне параллель болатын түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

294. Мына түзулердiң: 2х-5у-1=0, х+4у-7=0 қиылысу нүктесiнен өтетiн және 1) А(4,-3), В(-1,2) нүктелердi жалғайтын кесiндiнi 2:3 қатына сында бөлетiн, 2) А(4,-3), В(-1,2) нүктелердi басып өтетiн түзуге

параллель болатын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

295. Мына түзулердiң: х-6у+5=0, 2х-3у-3=0 қиылысу нүктесiнен өтетiн және 1) А(3,1) мен В(-1,5) нүктелердi басып өтетiн түзуге параллель болатын, 2)А(3,1) мен В(-1,5) нүктелердi басып өтетiн түзуге перпендикуляр болатын түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

296. Түзулер: х+2у-1=0, 5х+4у-17=0, х-4у+11=0 үшбұрыш жасап қиылысады. Сол үшбұрыштың биiктiктерiнiң теңдеулерiн құрыңдар.

297. х-4у+11=0, х+2у-1=0, 5х+4у-17=0 үшбұрыштың қабырғалары болса, оның әр төбесiнiң қарсы қабырғасына параллель етiп жүргiзiлген түзулердiң теңдеулерiн құрыңдар.

298. шоқ теңдеуi берiлген. Мына х+3у+13=0 түзудiң осы шоққа кiретiнiн дәлелдеңдер.

299. шоққа 4х+3у+12=0 түзуiнiң кiрмейтiнiн дәлелдеңдер.

300. 2х-8у+19=0, х+3у-9=0 түзулердiң қиылысу нүктесiнен өтетiн және 2х-у+6=0 түзуiне параллель болатын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

301. Мына түзулердiң: х+у-8=0, 3х-2у+6=0 қиылысу нүктесiнен 2х-3у-9=0 түзуiне перпендикуляр етiп жүргiзiлген түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

302. Мына түзулердiң: 3х-5у+15=0, х-4у+6=0 қиылысу нүктесiнен өтетiн және координаталар осьтерiнен теңдей кесiндiлер қиып түсетiн түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

303. Мына шоқта координаталар басынан өтетiн түзу бар ма?

304. Үшбұрыш АВС-ның биiктiктерi АА₁-дiң теңдеуi х+5у-3=0, ВВ₁-дiң теңдеуi 2х+3у-7=0, қабырғасы АВ-ның теңдеуi х+3у-1=0 берiлген. Үшбұрыштың қалған екi қабырғасы мен бiр биiктiгiнiң теңдеуiн құрыңдар.

305. Түзулер 2х+7у-8=0 мен 3х+2у+5=0 жасайтын шоққа жататын және 2х+3у-7=0 түзуiмен 45⁰ бұрыш жасайтын түзудiң теңдеуiн құрыңдар.

306. Үшбұрыш АВС-ның бiр төбеден шығатын биiктiгiнiң теңдеуi 7х-10у+1=0, биссектрисасының теңдеуi 3х-2у+5=0 және А(2,-1) екенi белгiлi. Сол үшбұрыштың қабырғаларының теңдеулерiн анықтаңдар.

V. Түзулердiң параметрлiк теңдеуi

307. Мыналар арқылы түзуiң параметрлiк теңдеуiн құрыңдар:

А(-2,3) нүктеден өтетiн, векторға параллель болады,

А(0,-2) мен В(3,-4) нүктелерден өтедi,

А(,-3) нүктеден өтедi, абцисса осiне параллель болады.

308. Түзу параметрлiк теңдеумен берiлген: x=-1+4t, y=2-t. Мыналар ды табыңдар: а) түзудiң бағыттаушы векторын, ә)параметрi t₁=3, t₂=0, t₃=-2, t₄=-1 болтатын нүктенiң координаталарын, б)түзудiң координаталар осiмен қиылысу нүктелерiнiң параметрлерiн, в)мына нүктелердiң А₁(-3,1), А₂(3,1), А₃(15,-2), А₄ , А₅(2,2) түзуде жататындарын және жатпайтындарын анықтаңдар.

309. Түзулердiң теңдеулерiн: 1)3х-у+5=0, 2) x+y-3=0, 3)2х+5=0, 4)4x+5y+6=0, 5)x+3y=0 параметрлiк теңдеу күйiнде жазыңдар.

310. Түзулер параметрлiк теңдеумен берiлген:1) x=-2+3t, y=4-t; 2) x=t, y=2; 3) x=5+t, y=3t. Оларды жалпы теңдеуге келтiрiңдер.

311. Мына теңдеумен берiлген түзулердi салыңдар:

1) x=1-2t, y=5-4t; 2) x=3, y=t; 3) x=5t, y=-1+ t.

312. М нүктесiнiң қозғалысының теңдеуi x=3+4t, y=-1-3t болса, ол нүктенiң жылдамдығы қандай болады?

313. А(-3,2) нүктеден өтетiн және бұрыштық коэффициентi болатын түзудiң параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

314. Ох және Оу координаталар осьтерiнен, сәйкесiнше, 3 және –5 кесiндi қиып түсетiн түзудiң параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

315. А(-3,-2) нүктедентетiн және абцисса осiмен 150⁰ бұрыш жасайтын түзудiң параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

316. А(0,-2) және В(3,-4) нүктелерден өтетiн түзудiң параметрлiк теңдеуi қандай болады?

VI. Түзудiң поляр координатасындағы теңдеуi

317. Түзуге полюстен жүргiзiлген перпендикулярдың ұзындығы р-ға, ол перпендикулярдың поляр осiмен жасайтын бұрышы -ға тең. Сол түзудiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

318. Поляр осiнен полюстен бастап а-ға тең кесiндi қиятын және поляр осiмен бұрыш жасайтын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

319. нүктеден өтетiн және поляр осiне еңкею бұрышы болатын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.