Формулы преобразования координат

Литература: [1], гл.3, §1,2, стр.55–62, гл.4, §1, стр.66–69, гл.8, §1,3, стр.188–193, 196-202; [2], ч.1, гл.3, §1–2, стр.89–96; [27], гл.6, §52-54, стр. 186-196.

Основные определения, теоремы и формулы

Четверка, состоящая из точки и базиса называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается Точка называется началом координат, а векторы - координатными векторами.

Координатами точки в системе называются числа такие, что

Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если базис этой системы является ортонормированным. Такая система координат с началом в точке обозначается так: или где

Замечание. Для решения аффинных задач в пространстве методом координат достаточно иметь аффинную систему координат. Метрические же задачи решаются в прямоугольной декартовой или просто декартовой системе координат. В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, будем считать, что система координат соответствует типу решаемой задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Как, зная координаты точки, построить ее? Изобразите аффинную систему координат в пространстве и постройте точки с заданными координатами:

2. Как найти координаты точки в данной аффинной системе координат?

3. Известны координаты точек А и В в аффинной системе координат. Как найти координаты середины отрезка?

4. Что означает выражение “Точка М делит направленный отрезок в отношении ”?

5. В каком отношении делит направленный отрезок :

а) точка , б) точка М₂, в) середина М отрезка ?

6. Точка М делит направленный отрезок в отношении и направленный отрезок – в отношении . Какова зависимость между и ? В каком случае = ?

7. Точка М делит направленный отрезок в отношении . Указать положение точки М относительно отрезка , если известно, что:

а) > 0, б) –1 < < 0, в) < –1, г) = 0 ?

8. Как расположены точки М и N, делящие отрезок соответственно в отношениях и ?

9. Как перемещается по прямой М₁М₂ точка М (см. вопрос 7), если известно, что:

а) 0, б) , в) , г) –1 ?

10. Как выражаются координаты точки М, делящей направленный отрезок в отношении , через координаты точек М₁, М₂ и числом ?

11. Что называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве? Как вычислить длину отрезка М₁М₂, если его концы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат: М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂)?

12. Какая система координат называется декартовой? Как решить задачу из предыдущего примера 11, если координаты точек определены в декартовой системе координат?

13. Как вводится понятие ориентации пространства? Какая система координат называется левой (правой)?

14. Система координат О – правая. Какой будет система координат если:

а)

б)

в)

г)

д) где ;

е)

ж)

15. Являются ли одинаково ориентированными базисы и если: а) б)

16. Какой вид имеют формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве:

а) в общем случае, б) когда изменяется только начало координат, в) когда изменяются только базисные векторы?

17. Какой вид имеют формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат? Какие матрицы называются ортогональными? Является ли условие равенства ±1 определителя матрицы достаточным условием ее ортогональности?

18. Как по формулам преобразования координат определить, одинаково ли ориентированы старая и новая системы координат?

19. Могут ли одна (две, три, четыре) точки общего положения иметь одинаковые координаты в двух различных аффинных системах координат?

Задачи

1. Известны координаты четырёх вершин параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: А (2,–1,1), В (1,3,4), D (6,0,1), А₁ (4,2,0). Найти координаты остальных вершин и ориентацию базиса

2. Даны точки А (2,–1,7), В (4,5,–2). Найти отношение, в котором каждая координатная плоскость делит отрезок . Имеет ли прямая АВ точки пересечения с осями координат?

3. Написать формулы преобразования координат при переходе от аффинной системы координат О к системе О , если:

а) (0, 3, –1), (1, 3, 0), (0, –3, 1), (1, 1, –2);

б) (5, 0, –2),

4. Дан тетраэдр ОАВС. Написать формулы преобразования координат точек при переходе от аффинной системы координат к системе

5. Какие из формул определяют преобразование координат точек при переходе от одной аффинной системы координат к другой:

а) б)

При положительном ответе найти координаты нового начала и новых координатных векторов соответственно в старой системе координат и её базисе.

67. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в точках А (7,2,4), В (4,–4,2), С (6,–7,8), D (9,–1,10) является квадратом. В какой системе координат решается задача?

Домашнее задание

1. Найти координаты вершин тетраэдра АВСD в аффинной системе координат:

а) ,

б) .

2.Найти координаты центра О параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ и центра О₁ его грани ВСС₁В₁ в аффинной системе координат:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

3. Отрезок АВ разделен на три равные части точками М₁(1,2,3) и М₂(3,4,3). Найти координаты точек А и В.

4. Ребро куба АВСDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Найти зависимость между координатами произвольной точки М в системах координат:

а) и ;

б) и .

В каждом из случаев найти длину отрезка ВЕ, где Е – точка, имеющая одинаковые координаты в старой и новой системах координат.

5. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А(7,8,9), В(9,3,7), С(5,4,3), D(3,9,5) является ромбом. Найти его площадь.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

2. В каком отношении плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, делит его диагональ, выходящую из этой же вершины?

3. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке. Найти отношение, в котором эта точка делит построенные отрезки.

Тема5.2.Векторное произведение векторов

Литература: [1], гл. 9, § 4, стр. 225–230; [3], гл.1, § 4, стр. 29–30; [27], гл.6, §56, стр.200-204.

Основные определения, теоремы и формулы

Векторным произведением неколлинеарных векторов и из ориентированного векторного пространства называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1) где – направленный угол между векторами и ,

2) вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору ,

3) – правая тройка векторов.

Из 2) и 3) видно, что вектор направлен по правилу “правого винта” при вращении вектора к вектору .

Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору.

Теорема 1. Если векторы и в правом ортонормированном базисе имеют координаты то вектор

Теорема 2. Векторное произведение двух векторов и равно нуль-вектору тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Теорема 3. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулировать основные свойства векторного произведения векторов.

2. Как найти площадь треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат вершины треугольника имеют координаты: А (а₁, а₂, а₃), В (b₁, b₂, b₃), С (с₁, с₂, с₃)?

3. Векторы и перпендикулярны вектору Что можно сказать о векторе [[ ] ]?

4. Можно ли из условия [ ] = [ ], где , заключить, что = ?

5. Верно ли утверждение о том, что векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда [ ] = ? Если да, то почему?

6. Дан правильный ортонормированный базис . Найти векторные произведения:

а) [[[[ ] ] ] ], б) [( – )( + )],

в) [[( – )( + )][( + )]( – )]].

7. При каких значениях справедливо равенство:

[ – + 2 , -3 + 3 + ] = ?

1. Что такое момент силы относительно точки?

9. Как определяется направление вектора магнитной индукции в точке магнитного поля проводника с током?

1. Как определяется направление силы Ампера?
2. Как вычислить линейную скорость вращения точки вокруг неподвижной оси, зная угловую скорость?

Пример 1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .

Решение. Найдем вектор :

Так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору, то Теперь, зная координаты и, учитывая, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , найдем

Тогда

Пример 2. Зная вершину квадрата , его центр и вектор перпендикулярный плоскости квадрата, найти остальные его вершины.

Решение. Так как вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору , то коллинеарен вектору Кроме того, и так как векторы и перпендикулярны, то Следовательно, Зная координаты вектора определим векторное произведение

Так как то Поэтому вершины и квадрата соответственно имеют координаты Так как точка симметрична точке относительно начала координат , то

Задачи

1. Выразить векторы [2 + , + 3 ] и [ + , – ] через [ ]. Найти их длины, если

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и где и – единичные векторы, величина угла между которыми равна 60⁰.

3. Найти площадь треугольника , в котором

4. Найти единичный вектор перпендикулярный: а) каждому из векторов и б) вектору и оси абсцисс.

5. Вектор перпендикулярный оси аппликат и вектору образует острый угол с осью абсцисс. Зная, что найти его координаты.

6. Сила приложена к точке Определить величину и направление момента этой силы относительно начала координат.

7. Найти векторы и если

8. Доказать тождество: [ ]² + ( ) = ^{2 2}.

9. Прямая а проходит через точку А параллельно вектору . Доказать, что расстояние от любой точки В до прямой вычисляются по формуле:

10. Даны точки Доказать, что – квадрат. Найти вершины куба, для которого квадрат служит гранью.

11. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора на плоскость, параллельную векторам

Домашнее задание

1. Доказать, что если то векторы – компланарны. Верно ли обратное утверждение?

2. Найти расстояние от точки С(3,2,–2) до прямой , проходящей через точки А(1,2,–3), В(5,2,0). Система координат – прямоугольная декартова.

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.

4. Дан тетраэдр, построенный на векторах (2,0,0), (3,4,0), (3,4,2) (базис ортонормированный).

Найти: а) площади его граней, б) косинус угла между гранями АВС и ADC.

5. Доказать, что .

Задачи повышенной трудности

1. Пусть – площади граней тетраэдра, – соответствующие этим граням орты внешних нормалей. Доказать, что

2. Доказать теорему Мебиуса: В выпуклом пятиугольнике площади треугольников равны Пусть – площадь пятиугольника. Доказать, что

3. Докажите, что параллелепипед является прямоугольным тогда и только тогда, когда все его диагонали равны между собой.

4. Докажите, что прямоугольный параллелепипед является кубом тогда и только тогда, когда его диагональ перпендикулярна плоскости .

Тема5.3.Смешанное произведение векторов

Литература: [1], гл. 9, §3, стр.221–225; [2], гл.1, §3-5, стр.29–33; [27], гл.6, § 55, стр. 196-200.

Основные определения, теоремы и формулы

Смешанным произведением трех векторов и в ориентированном векторном пространстве называется скалярное произведение векторов и .

Геометрически смешанное произведение векторов интерпретируется как объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, взятый со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая.

Смешанное произведение векторов и обозначается или .

Теорема 1. Смешанное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Теорема 2. Если векторы и имеют координаты , относительно произвольно базиса , то

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется смешанным произведением:

а) некомпланарных векторов , б) компланарных векторов ?

2. Сформулировать основные свойства смешанного произведения векторов.

3. Что можно сказать о векторах если

а) =0, б) ,в)

4. Что можно сказать о векторах , если известно, что:

а) б) , в) , где – некоторое вещественное число, г) ?

5. Сравните и . В каком случае эти величины равны?

6. Пользуясь приведенной выше формулой для вычисления смешанного произведения векторов через их координаты в произвольном базисе получите формулу для случаев, если базис: а) ортонормированный правый, б) ортонормированный левый.

7. Найти вектор удовлетворяющий условию где и – данные векторы, а – данное число. Всегда ли уравнение имеет решение? Выясните геометрический смысл решения уравнения.

8. Верно ли, что для любых векторов :

а) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0,

б) ?

Если нет, то, для каких векторов выполняется каждое из равенств а), б)?

Пример 1. Вычислить произведение

Решение. Согласно свойствам векторные многочлены в смешанном произведении векторов перемножаются по тем же правилам, что и алгебраические многочлены. Тогда

Произведения равны нулю, а произведение следовательно,

Пример 2. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

Решение. Так как объем тетраэдра, построенного на векторах равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах, то Найдем координаты векторов Тогда

Задачи

1. Вычислить смешанные произведения:

а) б) если

2. Вектор перпендикулярен векторам и величина угла между которыми равна 30⁰. Зная, что вычислить

3. Найти смешанное произведение векторов (mage113-224.gif"> (1,–1,1), (5,2,–3), (1,4,–2).

3. Найти отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.

4. Точки и делят ребра SA, SB и SC тетраэдра SABC в отношениях = (SA, A’), = (SB,B’), = (SC,C’), где все числа положительны. Найти отношение объемов тетраэдров и SABC.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что объемы двух тетраэдров с равными трехгранными углами при одной вершине относятся как произведения ребер, сходящихся в вершинах этих углов.

2. Основанием пирамиды служит параллелограмм. В каком отношении делится объем пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и среднюю линию противолежащей грани?

Тема 5.4. Уравнение фигуры. Приложение метода координат