III признак равенства треугольников
II признак равенства треугольников
(по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС, ΔА1В1С1
АВ=А1В1, ,
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Используем способ наложения.
Так как стороны АВ и А1В1 равны, то совпадут точки А и А1; В и В1.
Так как равны углы А и А1, то совпадут лучи АС и А1С1.
Так как равны углы В и В1, то совпадут лучи ВС и В1С1.
Треугольники АВС и А1В1С1 совместятся, значит, они равны.
III признак равенства треугольников
(по трем сторонам).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС, ΔА1В1С1
АВ=А1В1, АС=А1С1, СВ=С1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Приложим треугольник А1В1С1 к АВС.
1 случай:
луч СС1 проходит внутри угла А1С1В1.
А1С1С – р/б, т.к. АС=А1С1. Значит, равны углы 1 и 2.
В1С1С – р/б, т.к. СВ=С1В1. Значит, равны углы 3 и 4.
Поэтому равны углы А1СВ1 и А1С1В1
Треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Случай
луч СС1 совпадает с одной из сторон треугольника.
Р-м ΔСАС1 – р/б, т.к. АС=АС1 АСС1 = АС1С.
Р-м ΔАВС и ΔА1В1С1
АС=А1С1 (по условию) | ΔАВС = ΔА1В1С1
ВС=В1С1 (по условию) | ( по двум сторонам и
АСС1 = АС1С | углу между ними)
Случай
ВС1С – р/б, т.к. СВ=С1В1. ВСС1 = ВС1С.
АС1С – р/б, т.к. АС=А1С1. АСС1 = АС1С.
Поэтому равны АСВ = АС1В.
АС=А1С1 (по условию) | ΔАВС = ΔА1В1С1
ВС=В1С1 (по условию) | ( по двум сторонам и
АСВ = АС1В | углу между ними)
Теорема доказана.