Свойство средней линиии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD-трапеция Q - середина АВ, P - середина СD Доказать: PQ||BC, PQ||AD PQ=1/2 (BC + AD)

Доказательство:

Пусть ABCD - данная трапеция. Проведем через вершину B и середину боковой стороны P прямую. E=ADÇ BP.

DPBC=DPED (по второму признаку):
1. СP=DP по построению
2. ÐBPQ=ÐEPD как вертикальные
3. ÐPCB=ÐPDE как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей CD

Из DPBC=DPED ÞPB=PE, BC=ED. Значит средняя линия PQ трапеции - средняя линия DABE.
По свойству средней линии треугольника - PQ=1/2 AE=1/2(AD+BC) и PQ||AD, PQ||BC.

Теорема доказана

2)Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

Пусть A₁A₂...A_n — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: A₁A₃,A₁A₄,A₁A₅...A₁A_{n − 1}. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника:ΔA₁A₂A₃,ΔA₁A₃A₄,...,ΔA₁A_{n − 1}A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.

1)